一百零三 古典微分几何空战二
“固定策略？”太明珠一愣，随即反应过来，“你是说由于每次窗口机动时间太短，玩家来不及在窗口机动中实时调整策略么？”
“没错，”叶蒙点点头，“不过这么说也不准，有时候玩家在窗口机动内也会改变策略，但这要么是凭本能改变，要么是在进入机动窗口之前没想好，结果进入窗口后才执行之前的策略，总之不是实时策略，有害无益。”
“那看来每次都得在进入窗口前就想好接下来怎么做动作了，这对玩家思考和操作节奏有一定要求。”
本来此时太明珠还想问万一两个玩家之间出现连续较长时间都呆在窗口内，也就是彼此位于对方射程内的时间超过一般窗口时间怎么办？
但她回想起当初叶蒙告诉过她，在超机动格斗中，出现这种情况的唯一可能是两者都减速到几乎失速的地步，这时候不管是为了避免继续失速，还是为了避免在持续低速下容易被敌人攻击，都会立马加速与对方对冲交错离开窗口。
就算对方不加速离开，只要自己做饭加速离开就行，所以其实不存在连续呆在窗口内的情况。
“没错，不过这只要练练就能掌握了。最难掌握的还是对古典微分几何空战的理解，尤其是对那些不懂微积分的玩家。”
“玩个游戏居然要学微积分，不知道以后玩家们知道这点后会怎么想，哈哈。”
“这其实也不是多大问题，而且这样还能促进玩家学习，不过这个后面再讲吧。我继续啦？”
“ok。”
叶蒙开始正式将古典微分几何与空战联系起来。
“也就是说，咱们只要考虑窗口内部机动，将对应轨迹用微分几何表示出来，然后求解出合适的策略就行。这里先看怎么将空战轨迹曲线用柱螺线函数表示出来。你有没有注意到一点，曲线伏雷内标架的三个向量与战机身上的三个向量很相似？”
伏雷内标架的切向量、主法向量和从切向量构成一个右手坐标系，而战机的滚转轴、俯仰轴和偏航轴也构成一个右手坐标系，所以三者其实是等价的。
太明珠点点头，然后突然反应过来，“哦！你是说战机的轴转向率其实就是三个标架向量的转向率是吧？”
“没错，”叶蒙点点头。
不过太明珠还是有疑问，“但是战机的三个轴未必和轨迹上的三个向量一直对应啊，比如带有偏转的时候轨迹的主法向量就不是和偏转轴，或者升力线重合的。”
叶蒙解释道，
“其实不管是在仿真空战还是超机动空战里，这种带着偏转的机动占比都是比较小的。对于超机动，这种情况一般出现攻击窗口之外阶段或者出现在窗口之内的剪刀机动中。”
对于窗口之外的机动，有没有带着偏转不重要，它也不在本次微分几何空战分析范围内。而对于窗口之内剪刀机动，除非自己用剪刀明显占优，不然最好不要使用剪刀机动，不然太危险。
“是因为超机动空战中，如果自己剪刀处于劣势，那想要避过对方的剪刀就得完全凭运气吗？”太明珠问道。
“没错。”
剪刀机动大致就是两架战机轨迹在同一平面上不断交错分离，每一段交错分离的轨迹看起来就像一把剪刀一样。
在战机由分离转为交错的过程中，双方都不断转向对方，而双方又大致处于同一平面，这样必然会有其中一方先飞到对方机头前方，此时就很容易被对方击落。
只不过在仿真空战中，战机子弹直径顶多几厘米，弹幕截面范围在几百米距离上顶多十米，和战机本身大小差不多，而且仿真空战战机转向比较慢，因此在剪刀中落于劣势的一方在自己被对方机头指向自己之前，有较充足的时间避开对方对方指向，这只要侧移十几米就行了，不难做到。
但在超机动格斗中，两架战机会以极高频率交错分离，在每次交错之前，玩家只有极短时间判断自己是否处于劣势，而且大作战中战机子弹尺寸超过一米，弹幕直径最大十来米，因此接下来玩家就来不及做规避了。这样能否规避成功就主要取决于运气。
“所以除非能直观判断，接下来自己采用剪刀机动能更快将机头指向对方，不然别采用这种危险的机动动作。”叶蒙说道。
“那如果对方坚持要与自己进行剪刀，自己怎么脱离呢？”太明珠问道。
“剪刀基本是共面机动，只要转为异面机动并与敌人进入滚筒，对方想接着剪刀也不行了，因为几何规律就不允许。这种由共面剪刀转为异面机动的方式也很简单，只不过需要一点空间想象力，或者多练习一下。”
具体来说就是，当两架战机进行剪刀或者进入可以剪刀的共面位姿时，表示两架战机的箭头和双方连线大致处于一个平面内，两个箭头位于连线同一侧。
这时候如果二者进行剪刀，可认为两者轨迹都是一段挠率为零的柱螺线，这将条柱螺线的中轴线都垂直于剪刀平面。
接下来只要一方往剪刀平面外一转，两个箭头就异面了，接下来这架战机只要飞一段新柱螺线轨迹就与对方拖入滚筒。这条新柱螺线的中轴线平行于原剪刀平面，且垂直于原柱螺线中轴线。
“哦！这两条柱螺线的衔接处是相切的，而中轴线却互相垂直，这种中轴线夹角超九十度的柱螺线切换瞬间就完成了，挺神奇的。”
“没错，不过这一过程其实是连续的，在战机从原剪刀平面脱离时，其柱螺线中轴就开始随之转动，只不过转动很快。当然这不是这里要讲的重点，重点以上讲了的内容，证明了在超机动空战的窗口机动中，偏航转动是很少出现的，且只在明显自己占优的情况下使用剪刀机动才会出现。
而不带偏航转的话，战机的升力线就与轨迹主法向量通向，而战机机头方向与轨迹切向量本就一致，因此战机俯仰轴也就与轨迹副法向量同向，也就是战机三个轴与伏雷内标架三向量重合。”
“哦哟！这个论证有点儿略长啊。”太明珠叹道，“ok，那你继续吧，友情提示一下，刚才讲到战机柱螺线函数的表示了。”
由于叶蒙和太明珠经常讨论复杂问题，而其中一些分支问题会将话题岔开老远，所以记忆超群的太明珠已经习惯在分值话题讨论结束后主动提醒叶蒙原来讲到哪了。
不过叶蒙并未接着讲，而是笑道，
“其实到这里你已经知道战机柱螺线函数怎么表示了吧，要不你讲讲，顺便把公式写一下。”
太明珠嘴角一翘，“哼哼，又像拿我当免费苦力推导公式是吧？不过看在你讲课这么辛苦的份上，本小姐就帮帮忙好了。”
然后太明珠拿起笔，刷刷刷在笔记本上写起来，并边写边讲，
“首先，需要将战机的机动参数与曲线参数对应起来，这里存在三组对应，即轨迹弧长与战机速率的对应关系、曲率与俯仰率对应关系、挠率与滚转率对应关系。”
轨迹弧长S与速率v的关系很简单，就是S=vt，t就是时间。
至于另两组关系，将曲率和挠率的微分形式坐下变换就好了。然后就得到两个式子：
曲率=俯仰率/速率
挠率=滚转率/速率
写到这太明珠不禁感叹道，“这两个式子真巧妙，就这么将战机核心参数与曲线核心参数联系起来了。”
不过她又问道，
“你之前说了在机动窗口内玩家策略是大致恒定不变的，也就是说战机滚转率、俯仰率都基本不变是吧？这样的话将这两个式子带入之前的柱螺线坐标函数就能求出战机的轨迹函数了对吧？”
“没错，只不过还要带入战机当前速度和减速率，也就是负向加速度，这样计算结果更准一些。”
“只考虑减速率不考虑加速率么？”
“不考虑。在战机进入窗口后最好一边转向一边减速，在其他条件一定的情况下，速率减得越快，方位角就更占优势。”
这是加减速率特别大的超机动空战中的特有情况，而如果换做仿真游戏空战，由于战机加速率弱，加速持续时间短，所以战机需要特别考虑能量的情况，包括势能和动能，因此不能随便减速，而且减速也不能迅速减下来。
“ok，那我接着写了。”
太明珠又进入人形计算机模式，不一会儿就将战机的轨迹曲线函数写出来。这个函数比之前的柱螺线函数复杂了不少，但基本结构还是一样的。
叶蒙接过笔，说道，
“现在我们来分析下这个函数，前两项分别代表战机沿柱螺线的圆柱截面的x轴和y轴的位移函数，它们平方和的开方就是战机在圆柱截面上的速度投影，第三项表示战机速度在z轴上的速度投影。那么显然，用z轴速度投影除以截面速度投影，就是战机与截面夹角的正切值。”
说到这，叶蒙这个正切值表达式写下来，等于√(滚转率/俯仰率)。
“哦呦！”
这时太明珠明白叶蒙要讲什么了，然后说道，
“也就是说，公式里的滚转率和俯仰率只是战机当前滚转率和俯仰率，而如果要让战机的滚转率和俯仰率同时取最大值，那么战机只有沿截面夹角为√(最大滚转率/最大俯仰率)的柱螺线飞行才行。
如果夹角大于这个值，那么只有滚转率能取得最大值，而俯仰率只能取到按这个正切值换算来的转向率，并且随夹角增大而越来越小。
反之，如果夹角小于这个值，那么只有俯仰率能取最大值，而滚转率无法取得最大，并且随夹角减小而不断减小。”
“没错，”叶蒙笑着摸摸太明珠的头，“我家小明珠就是聪明，一点就通。这个让战机俯仰率和滚转率同时取最大值的截面夹角就是最优滚筒角。”
哇塞！
这个结论有点儿出乎太明珠意料了，她之前还以为战机的俯仰率和滚转率都能随时取最大值，结果没想到它俩是受轨迹柱螺线形状限制的。
真是不算不知道，一算吓一跳。
然后她想到什么，马上转头向叶蒙问道，
“所以你之前玩游戏，一直是按这个最优滚筒角滚筒的？”
而叶蒙却摇摇头，“当然不能机械按照这个角滚筒，需要按具体情况来定，但这个最优角的确是滚筒截面夹角的一个重要参考值。”
“那怎么按具体情况决定呢？”
“别急嘛，”
叶蒙揉揉太明珠小脸，说道，
“这里先对窗口机动内的双方战机轨迹特性再做进一步，然后才知道这个截面夹角要怎么选。我们之前说了在窗口内，战机策略基本恒定，这样两架战机轨迹都是柱螺线，只不过由于带着减速，所以这个螺旋圆柱半径会不断减小，但总体形状还是柱螺线。
那么这里有个问题，两架战机的螺线圆柱之间的几何关系是怎样的？”
如果二者毫无关系，那么两架战机的柱螺线也毫无关系，也就是各飞各的，但这显然不可能，所以两个螺线圆柱肯定是紧密相关的，但最好从数学上来表示这种关系。
然后叶蒙接着分析道，
“我们现在先假设两架战机以异面位姿关系进入机动窗口，然并且双方玩家都按住攻击键，然后战机就会将升力线指向对方预瞄点，朝此转向飞行。由于双方预瞄点都随着各自战机飞行而不断改变，所以对方的转向方向也会不断改变。不过这种变化轨迹也是可以求出对应坐标函数的。”
现在已知，双方进入机动窗口的位姿为初始位姿，双方升力线一直指向或者尽力指向对方，且双方的实时滚转率和俯仰率都会受柱螺线截面夹角限制。
第一点是初始条件，后两点是边界条件，既然初始条件和边界都已明了，那么对应的微分方程就能列出来了。
“没错，”叶蒙点点头，“不过这么说也不准，有时候玩家在窗口机动内也会改变策略，但这要么是凭本能改变，要么是在进入机动窗口之前没想好，结果进入窗口后才执行之前的策略，总之不是实时策略，有害无益。”
“那看来每次都得在进入窗口前就想好接下来怎么做动作了，这对玩家思考和操作节奏有一定要求。”
本来此时太明珠还想问万一两个玩家之间出现连续较长时间都呆在窗口内，也就是彼此位于对方射程内的时间超过一般窗口时间怎么办？
但她回想起当初叶蒙告诉过她，在超机动格斗中，出现这种情况的唯一可能是两者都减速到几乎失速的地步，这时候不管是为了避免继续失速，还是为了避免在持续低速下容易被敌人攻击，都会立马加速与对方对冲交错离开窗口。
就算对方不加速离开，只要自己做饭加速离开就行，所以其实不存在连续呆在窗口内的情况。
“没错，不过这只要练练就能掌握了。最难掌握的还是对古典微分几何空战的理解，尤其是对那些不懂微积分的玩家。”
“玩个游戏居然要学微积分，不知道以后玩家们知道这点后会怎么想，哈哈。”
“这其实也不是多大问题，而且这样还能促进玩家学习，不过这个后面再讲吧。我继续啦？”
“ok。”
叶蒙开始正式将古典微分几何与空战联系起来。
“也就是说，咱们只要考虑窗口内部机动，将对应轨迹用微分几何表示出来，然后求解出合适的策略就行。这里先看怎么将空战轨迹曲线用柱螺线函数表示出来。你有没有注意到一点，曲线伏雷内标架的三个向量与战机身上的三个向量很相似？”
伏雷内标架的切向量、主法向量和从切向量构成一个右手坐标系，而战机的滚转轴、俯仰轴和偏航轴也构成一个右手坐标系，所以三者其实是等价的。
太明珠点点头，然后突然反应过来，“哦！你是说战机的轴转向率其实就是三个标架向量的转向率是吧？”
“没错，”叶蒙点点头。
不过太明珠还是有疑问，“但是战机的三个轴未必和轨迹上的三个向量一直对应啊，比如带有偏转的时候轨迹的主法向量就不是和偏转轴，或者升力线重合的。”
叶蒙解释道，
“其实不管是在仿真空战还是超机动空战里，这种带着偏转的机动占比都是比较小的。对于超机动，这种情况一般出现攻击窗口之外阶段或者出现在窗口之内的剪刀机动中。”
对于窗口之外的机动，有没有带着偏转不重要，它也不在本次微分几何空战分析范围内。而对于窗口之内剪刀机动，除非自己用剪刀明显占优，不然最好不要使用剪刀机动，不然太危险。
“是因为超机动空战中，如果自己剪刀处于劣势，那想要避过对方的剪刀就得完全凭运气吗？”太明珠问道。
“没错。”
剪刀机动大致就是两架战机轨迹在同一平面上不断交错分离，每一段交错分离的轨迹看起来就像一把剪刀一样。
在战机由分离转为交错的过程中，双方都不断转向对方，而双方又大致处于同一平面，这样必然会有其中一方先飞到对方机头前方，此时就很容易被对方击落。
只不过在仿真空战中，战机子弹直径顶多几厘米，弹幕截面范围在几百米距离上顶多十米，和战机本身大小差不多，而且仿真空战战机转向比较慢，因此在剪刀中落于劣势的一方在自己被对方机头指向自己之前，有较充足的时间避开对方对方指向，这只要侧移十几米就行了，不难做到。
但在超机动格斗中，两架战机会以极高频率交错分离，在每次交错之前，玩家只有极短时间判断自己是否处于劣势，而且大作战中战机子弹尺寸超过一米，弹幕直径最大十来米，因此接下来玩家就来不及做规避了。这样能否规避成功就主要取决于运气。
“所以除非能直观判断，接下来自己采用剪刀机动能更快将机头指向对方，不然别采用这种危险的机动动作。”叶蒙说道。
“那如果对方坚持要与自己进行剪刀，自己怎么脱离呢？”太明珠问道。
“剪刀基本是共面机动，只要转为异面机动并与敌人进入滚筒，对方想接着剪刀也不行了，因为几何规律就不允许。这种由共面剪刀转为异面机动的方式也很简单，只不过需要一点空间想象力，或者多练习一下。”
具体来说就是，当两架战机进行剪刀或者进入可以剪刀的共面位姿时，表示两架战机的箭头和双方连线大致处于一个平面内，两个箭头位于连线同一侧。
这时候如果二者进行剪刀，可认为两者轨迹都是一段挠率为零的柱螺线，这将条柱螺线的中轴线都垂直于剪刀平面。
接下来只要一方往剪刀平面外一转，两个箭头就异面了，接下来这架战机只要飞一段新柱螺线轨迹就与对方拖入滚筒。这条新柱螺线的中轴线平行于原剪刀平面，且垂直于原柱螺线中轴线。
“哦！这两条柱螺线的衔接处是相切的，而中轴线却互相垂直，这种中轴线夹角超九十度的柱螺线切换瞬间就完成了，挺神奇的。”
“没错，不过这一过程其实是连续的，在战机从原剪刀平面脱离时，其柱螺线中轴就开始随之转动，只不过转动很快。当然这不是这里要讲的重点，重点以上讲了的内容，证明了在超机动空战的窗口机动中，偏航转动是很少出现的，且只在明显自己占优的情况下使用剪刀机动才会出现。
而不带偏航转的话，战机的升力线就与轨迹主法向量通向，而战机机头方向与轨迹切向量本就一致，因此战机俯仰轴也就与轨迹副法向量同向，也就是战机三个轴与伏雷内标架三向量重合。”
“哦哟！这个论证有点儿略长啊。”太明珠叹道，“ok，那你继续吧，友情提示一下，刚才讲到战机柱螺线函数的表示了。”
由于叶蒙和太明珠经常讨论复杂问题，而其中一些分支问题会将话题岔开老远，所以记忆超群的太明珠已经习惯在分值话题讨论结束后主动提醒叶蒙原来讲到哪了。
不过叶蒙并未接着讲，而是笑道，
“其实到这里你已经知道战机柱螺线函数怎么表示了吧，要不你讲讲，顺便把公式写一下。”
太明珠嘴角一翘，“哼哼，又像拿我当免费苦力推导公式是吧？不过看在你讲课这么辛苦的份上，本小姐就帮帮忙好了。”
然后太明珠拿起笔，刷刷刷在笔记本上写起来，并边写边讲，
“首先，需要将战机的机动参数与曲线参数对应起来，这里存在三组对应，即轨迹弧长与战机速率的对应关系、曲率与俯仰率对应关系、挠率与滚转率对应关系。”
轨迹弧长S与速率v的关系很简单，就是S=vt，t就是时间。
至于另两组关系，将曲率和挠率的微分形式坐下变换就好了。然后就得到两个式子：
曲率=俯仰率/速率
挠率=滚转率/速率
写到这太明珠不禁感叹道，“这两个式子真巧妙，就这么将战机核心参数与曲线核心参数联系起来了。”
不过她又问道，
“你之前说了在机动窗口内玩家策略是大致恒定不变的，也就是说战机滚转率、俯仰率都基本不变是吧？这样的话将这两个式子带入之前的柱螺线坐标函数就能求出战机的轨迹函数了对吧？”
“没错，只不过还要带入战机当前速度和减速率，也就是负向加速度，这样计算结果更准一些。”
“只考虑减速率不考虑加速率么？”
“不考虑。在战机进入窗口后最好一边转向一边减速，在其他条件一定的情况下，速率减得越快，方位角就更占优势。”
这是加减速率特别大的超机动空战中的特有情况，而如果换做仿真游戏空战，由于战机加速率弱，加速持续时间短，所以战机需要特别考虑能量的情况，包括势能和动能，因此不能随便减速，而且减速也不能迅速减下来。
“ok，那我接着写了。”
太明珠又进入人形计算机模式，不一会儿就将战机的轨迹曲线函数写出来。这个函数比之前的柱螺线函数复杂了不少，但基本结构还是一样的。
叶蒙接过笔，说道，
“现在我们来分析下这个函数，前两项分别代表战机沿柱螺线的圆柱截面的x轴和y轴的位移函数，它们平方和的开方就是战机在圆柱截面上的速度投影，第三项表示战机速度在z轴上的速度投影。那么显然，用z轴速度投影除以截面速度投影，就是战机与截面夹角的正切值。”
说到这，叶蒙这个正切值表达式写下来，等于√(滚转率/俯仰率)。
“哦呦！”
这时太明珠明白叶蒙要讲什么了，然后说道，
“也就是说，公式里的滚转率和俯仰率只是战机当前滚转率和俯仰率，而如果要让战机的滚转率和俯仰率同时取最大值，那么战机只有沿截面夹角为√(最大滚转率/最大俯仰率)的柱螺线飞行才行。
如果夹角大于这个值，那么只有滚转率能取得最大值，而俯仰率只能取到按这个正切值换算来的转向率，并且随夹角增大而越来越小。
反之，如果夹角小于这个值，那么只有俯仰率能取最大值，而滚转率无法取得最大，并且随夹角减小而不断减小。”
“没错，”叶蒙笑着摸摸太明珠的头，“我家小明珠就是聪明，一点就通。这个让战机俯仰率和滚转率同时取最大值的截面夹角就是最优滚筒角。”
哇塞！
这个结论有点儿出乎太明珠意料了，她之前还以为战机的俯仰率和滚转率都能随时取最大值，结果没想到它俩是受轨迹柱螺线形状限制的。
真是不算不知道，一算吓一跳。
然后她想到什么，马上转头向叶蒙问道，
“所以你之前玩游戏，一直是按这个最优滚筒角滚筒的？”
而叶蒙却摇摇头，“当然不能机械按照这个角滚筒，需要按具体情况来定，但这个最优角的确是滚筒截面夹角的一个重要参考值。”
“那怎么按具体情况决定呢？”
“别急嘛，”
叶蒙揉揉太明珠小脸，说道，
“这里先对窗口机动内的双方战机轨迹特性再做进一步，然后才知道这个截面夹角要怎么选。我们之前说了在窗口内，战机策略基本恒定，这样两架战机轨迹都是柱螺线，只不过由于带着减速，所以这个螺旋圆柱半径会不断减小，但总体形状还是柱螺线。
那么这里有个问题，两架战机的螺线圆柱之间的几何关系是怎样的？”
如果二者毫无关系，那么两架战机的柱螺线也毫无关系，也就是各飞各的，但这显然不可能，所以两个螺线圆柱肯定是紧密相关的，但最好从数学上来表示这种关系。
然后叶蒙接着分析道，
“我们现在先假设两架战机以异面位姿关系进入机动窗口，然并且双方玩家都按住攻击键，然后战机就会将升力线指向对方预瞄点，朝此转向飞行。由于双方预瞄点都随着各自战机飞行而不断改变，所以对方的转向方向也会不断改变。不过这种变化轨迹也是可以求出对应坐标函数的。”
现在已知，双方进入机动窗口的位姿为初始位姿，双方升力线一直指向或者尽力指向对方，且双方的实时滚转率和俯仰率都会受柱螺线截面夹角限制。
第一点是初始条件，后两点是边界条件，既然初始条件和边界都已明了，那么对应的微分方程就能列出来了。
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