一百零四 古典微分几何空战三
列微分方程本身不麻烦，解微分方程才麻烦，原本叶蒙以为这下太明珠需要多花一点时间来完成，结果她只是写了两步中间步骤就将结果求出来了。
刚好，这个方程是有解析解的。
“厉害！”叶蒙再次对天才女友表示赞赏，然后问道，“看出什么没？”
“只要双方都坚持朝对方预瞄点转向，那么双方轨迹就会像表达式描述的这样，随着时间推移，几乎必然有一方会指向对方。”
在机动窗口这种短距离内指向对方，击中对方的概率会相当大，甚至直接将对方击毙也是可能的。
“没错，”
叶蒙点点头，刚想继续说就听太明珠说道，
“但是对方也不会傻等着被对方击落啊，这样轨迹就不符合这个表达式了。”
“是的，这也就是今天要讲的最核心内容——在窗口机动中，如果双方都朝对方预瞄点转向，能取得优势的一方直接朝对方预瞄点转向就行了，但会落于劣势的一方改如何采取决策？
其实这种决策我们不借助公式就能定性分析出来，事实上之前我已经和你说过，并且在今晚的游戏对战中你也验证过了。”
太明珠说道，“就是看缠斗双方谁滚转占优，谁绕圈占优。滚转率占优的一方尽量将对方拖入滚筒，俯仰率占优的一方尽量将对方拖入绕圈机动对吧？”
“这只是缺乏量化分析方法是的粗略策略。其实前面有提到，绕圈轨迹可以算作挠率为零的柱螺线，双方都绕着对方绕圈就是滚转率为零的滚筒。”
而且俯仰率占优也未必要将对方拖入滚转率为零的滚筒才行，只要滚转率低到一定程度，也就是滚筒的柱螺线截面夹角小到一定程度，自己也能占优。
另外轨迹表达式中还含有加速度这项，这说明加速度也会影响到谁能占优，但是不管两架战机的加速度如何，进入窗口机动后都会以最大加速度减速，所以这里唯一可变的选项只有截面夹角。
“因此，对于刚才所说的劣势方的策略选择的更准确描述是，如果该机在小角度截面夹角滚筒中能取得优势，那就减小截面夹角进行滚筒，反之就增大截面夹角进行滚筒。当然也有可能无论在什么角度滚筒中都不占优，比如火力能量机这种技能都点在进攻和防御力上的机型，而这种低机动性机型遇到任何战机，都不要试图进入窗口与对方减速缠斗，最正确的做法是一击就走，甚至击都不击就走。”
“嘻嘻，击都不击。”太明珠笑了笑，然后又问道，“那么对于那种至少在某个截面夹角范围能取得优势的战机，具体要以多大夹角滚筒呢？”
“答案其实前面说过了呀。”
嗯？
太明珠一愣，随即反应过来，
“战机最优截面夹角？！”
“没错，只不过加个前提，就是对应该夹角的螺线圆柱半径位于大于战机所处位置的敌方攻击包线半径。”
原因是采用战机最优截面夹角的战机是落于劣势的一方，一般就是方位角处于劣势，如果此时滚筒圆柱半径小于战机所处位置的敌方攻击包线半径，那就很容易被击中。
叶蒙继续说道，
“只要按照最优截面夹角滚筒，劣势方的滚转率和俯仰率都能取到最大值，让自己与对方方位角差异以最快速率减小。如果优势方继续向着劣势方预瞄点转向的话，由于截面夹角的几何限制，自身优势转向率发挥不出来，方位角差异优势会被很快抹平，等滚筒截面夹角与对方一致时，下一瞬间就会被反超。”
听到这，太明珠按照叶蒙思路做进一步分析，
“只不过优势方也不会干等着让对方将自己反超吧？看到对方与方位角差异不断缩小，那应该及时改变自己策略，增大或减小自身滚筒截面夹角至最优截面角来应对。这样双方就进入一个来来回回，不断增大或减小截面夹角的动态博弈过程。”
不过叶蒙却说道，“小傻瓜，如果放在仿真空战那种缠斗窗口较长的游戏中的确如此，只不过对应的轨迹模型要改一下，而在机动窗口极短的超机动空战中，玩家是没时间根据对方状态实时调整自身策略的。所以优势方只能提前算好如果劣势方采用最优截面夹角滚筒，那么实现方位角反超大概要多久，然后在快要被对方反超时就按自身最优截面夹角来滚筒。”
“不是，你这说的也是要判断自己快要被反超这一情形啊，和我说的不一样么？”
叶蒙摇摇头，“不一样啊，我说的'自己快要被反超不是实时观看对方状态来判断的'，而是提前准备好，然后在这个时间点直接改变策略就行。比如提前算好对方会在0.4秒后反超，那么自己就在追击对方0.4秒后直接改变滚筒策略就行。这就像打moba游戏，已经预判对方走位，那就可以提前在对方落脚点放技能，然后等着对方撞上来就行。”
“但是你之前不是说超机动空战机动窗口极短，没时间改变策略吗？”太明珠问道。
“只是没法根据实时状态改变策略而已，提前算好的还是可以执行的。弹钢琴的每秒都能弹好几个键，大作战中只是做一两次策略改变也不难，而且这种策略转变其实并不是用于在同一机动窗口内作战的。”
“不用于同一窗口作战？这话怎么说？”太明珠问道。
“还是窗口极短的原因，不管优势方有没有改变策略，基本上都是与对方进入机动窗口后就马上远离至射程之外了，而改变策略只是为了脱离窗口后自己别位于对手前方，方便在下一机动窗口中取得优势。”
“这样啊，那你一开始别说机动窗口内用的是固定策略嘛，简直是误导我。”太明珠嘟着小嘴抗议道。
叶蒙笑了笑，“好吧，我错了。其实说是固定策略也没错，因为在窗口内执行的策略都是之前计划好的，而且我也没想到除了固定策略外有什么合适的叫法。”
“叫计划策略就行了啊。”
“好的，那就依我家小明珠的叫法。”叶蒙捏了捏太明珠的小脸笑道。
本来太明珠比叶蒙年龄大，但在请教问题的时候她感觉自己才是年龄更小的那个，所以也很享受叶蒙这种时不时捏捏脸、摸摸头的动作。她顺势靠进叶蒙怀里，又说道，“我还有几个问题。”
“问吧。”
“你说的这种劣势方采用最优角滚筒的办法，只适用于两架战机的柱螺线中轴同向的情况吧，两架战机就像dna螺旋那样，但要是两架战机的柱螺线中轴不同向呢？”
叶蒙答道，“只要两架战机中，没有哪架执行了比较糟糕的策略，或者一开始就想着逃跑，那么双方就会进入这种柱螺线中轴同向的滚筒中，简称同向轴滚筒。”
“为啥呀？”
“超机动空战中的战机核心目标是取得方位角优势。要实现这个目标，战机在落于劣势时需要尽量增大自己相对对方的角速度，这就需要尽快靠进对方身侧，这就需要朝着对方附近转向。
在优势时需要直接指向对方，也相当于向对方附近转向。
在均势时也需要尽量向对方位置附近转向，不然不这么做的一方的方位角就会增大，而对方的方位角会减小。
而只要双方都朝着对方附近转向，那就会形成同相轴滚筒，这点可以通过公式推导证明的。”
叶蒙正要拿起笔做推导，就被太明珠打断，
“等下，我不怀疑朝着对方附近转向就能形成同相轴滚筒，但你说的第一点似乎和之前劣势方要采取最优角滚筒有些矛盾啊。比如这样，”
太明珠抽出叶蒙手里的笔，在笔记本上画了个简图，然后说道，
“两架战机在做同向轴滚筒，滚转率占优，哦不对，擅长大截面夹角滚筒的战机位于更前方，也就是处于方位角劣势。那么按照之前最优角策略的说法，它需要增大截面夹角进行滚筒，这样的话它沿螺线中轴方向的速度分量就相对对方会增大，哪怕双方都处于减速中，这样就会远离对方，它的主法向量与中轴交点也会远离对方，这就和你说的要向对方附近转向的说法矛盾啊。”
“nonononono，你想岔了。你说的这是双方都沿着固定中轴滚筒的情况，在仿真空战游戏中可能会有，但在超机动空战中几乎不会存在，双方的中轴线一直在变动的。”
叶蒙接过笔，将图改了改，然后解释道，
“这时候前面这架劣势的战机，真正改做的是朝着后面这架优势战机的身侧飞去，然后在优势战机身侧滚筒。这样劣势机其实是没有远离优势机的，反而可能还更靠近了，所以以上两种说法没有矛盾。
而这时优势机只要继续朝劣势机转向，那么就会被带入大截面夹角滚筒，或者说小半径滚筒，然后落于劣势。”
“啊，这样啊！”
太明珠恍然道，
“这架优势战机是位于螺线圆柱的柱面上的，它的身侧也在柱面附近，劣势战机飞过去的话，双方岂不就是在柱面上滚筒了？”
“没错，也就是中轴线会从原来的圆柱中轴移到柱面上，而且随着双方策略改变，中轴线还会不断改变。”
“哇塞！这种轨迹也太复杂了吧！”
太明珠用双手绕着做出一段复杂轨迹来模仿这种机动轨迹，
“这种擅长大截面夹角滚筒的战机，采取的策略还真是抽象，要随时改变滚筒中轴，还有对应截面夹角，怪不得要用微分几何来计算。”
“是啊，而且只要这种大夹角滚筒战机一改变滚筒中轴，擅长小夹角滚筒的战机也要随之改变中轴，不然就会莫名其妙一下就冲到对方前面。”
“好的，”太明珠点点头，又想了一下，“这么说来，有几个我本原想问问题就都有答案了，但是还有几个问题。”
“你继续，我知无不言。”
“这种策略讨论，都是基于两架战机一架擅长小截面夹角滚筒，另一架擅长大截面夹角滚筒来进行的，它们有各自的擅长夹角范围，也就是说当夹角处于某个临界值时，两架战机将会进入相持阶段，谁也不占优势。那么这个临界角怎么算？”
“聪明！”叶蒙夸赞道，“你还是注意到这点了，具体计算就不算了，这里只做粗略计算，方法很简单，都不用推导公式。”
不用推导公式？
太明珠很好奇，然后就继续看叶蒙不用公式怎么计算这个临界角。
只见叶蒙在纸上画了两个矩形，它们左下角处于同一点，只不过两个矩形一个高一些，一个扁一些，二者有重叠，重叠区域也是个矩形。
“矩形边界上每一点的横坐标是战机滚筒俯仰率，纵坐标是滚转率，矩形右上角就是滚转率和俯仰率都能取得最大值的点，就是最优角。”
“哦我明白了！”太明珠惊喜道，“它俩重叠区域矩形的右上角就是就是临界角，在这里双方的俯仰率和滚转率都相同，然后偏一点就是其中一方占优了。”
叶蒙点点头。
“哇！亲爱的你太厉害了，用这么简单的图就表示出来了，MUA！”
太明珠一下扑了上去，叶蒙接住了她，也接住了这招甜蜜攻击。然后他又有些谦虚地说，
“呵呵还好啦，这只是粗略计算，具体还得考虑减速率，虽然也能用两个框重叠的方式计算临界角，但框的形状算起来要更复杂一些。”
“哎呀，那些能算出来就行啦，反正你这种框重叠方式就是很厉害！”
“你就不问问这种方式，以及用古典微分几何来研究空战的方法是不是记忆碎片给我的？”
“哎？你不是说这个无人机大作战是你自己想出来的吗？”
“是我自己想的啊，它的设定又不复杂。”
“那你还说大作战的这套空战理论是记忆碎片给的？”
“我没说是给的啊，只是让你这样问问。”
“啊？难道说——”太明珠有点儿不可思议看着叶蒙。
然后叶蒙点点头，“没错，这套古典微分几何空战方法完全是我自己想出来的，当然还不太成熟。”
“什么？！”
刚好，这个方程是有解析解的。
“厉害！”叶蒙再次对天才女友表示赞赏，然后问道，“看出什么没？”
“只要双方都坚持朝对方预瞄点转向，那么双方轨迹就会像表达式描述的这样，随着时间推移，几乎必然有一方会指向对方。”
在机动窗口这种短距离内指向对方，击中对方的概率会相当大，甚至直接将对方击毙也是可能的。
“没错，”
叶蒙点点头，刚想继续说就听太明珠说道，
“但是对方也不会傻等着被对方击落啊，这样轨迹就不符合这个表达式了。”
“是的，这也就是今天要讲的最核心内容——在窗口机动中，如果双方都朝对方预瞄点转向，能取得优势的一方直接朝对方预瞄点转向就行了，但会落于劣势的一方改如何采取决策？
其实这种决策我们不借助公式就能定性分析出来，事实上之前我已经和你说过，并且在今晚的游戏对战中你也验证过了。”
太明珠说道，“就是看缠斗双方谁滚转占优，谁绕圈占优。滚转率占优的一方尽量将对方拖入滚筒，俯仰率占优的一方尽量将对方拖入绕圈机动对吧？”
“这只是缺乏量化分析方法是的粗略策略。其实前面有提到，绕圈轨迹可以算作挠率为零的柱螺线，双方都绕着对方绕圈就是滚转率为零的滚筒。”
而且俯仰率占优也未必要将对方拖入滚转率为零的滚筒才行，只要滚转率低到一定程度，也就是滚筒的柱螺线截面夹角小到一定程度，自己也能占优。
另外轨迹表达式中还含有加速度这项，这说明加速度也会影响到谁能占优，但是不管两架战机的加速度如何，进入窗口机动后都会以最大加速度减速，所以这里唯一可变的选项只有截面夹角。
“因此，对于刚才所说的劣势方的策略选择的更准确描述是，如果该机在小角度截面夹角滚筒中能取得优势，那就减小截面夹角进行滚筒，反之就增大截面夹角进行滚筒。当然也有可能无论在什么角度滚筒中都不占优，比如火力能量机这种技能都点在进攻和防御力上的机型，而这种低机动性机型遇到任何战机，都不要试图进入窗口与对方减速缠斗，最正确的做法是一击就走，甚至击都不击就走。”
“嘻嘻，击都不击。”太明珠笑了笑，然后又问道，“那么对于那种至少在某个截面夹角范围能取得优势的战机，具体要以多大夹角滚筒呢？”
“答案其实前面说过了呀。”
嗯？
太明珠一愣，随即反应过来，
“战机最优截面夹角？！”
“没错，只不过加个前提，就是对应该夹角的螺线圆柱半径位于大于战机所处位置的敌方攻击包线半径。”
原因是采用战机最优截面夹角的战机是落于劣势的一方，一般就是方位角处于劣势，如果此时滚筒圆柱半径小于战机所处位置的敌方攻击包线半径，那就很容易被击中。
叶蒙继续说道，
“只要按照最优截面夹角滚筒，劣势方的滚转率和俯仰率都能取到最大值，让自己与对方方位角差异以最快速率减小。如果优势方继续向着劣势方预瞄点转向的话，由于截面夹角的几何限制，自身优势转向率发挥不出来，方位角差异优势会被很快抹平，等滚筒截面夹角与对方一致时，下一瞬间就会被反超。”
听到这，太明珠按照叶蒙思路做进一步分析，
“只不过优势方也不会干等着让对方将自己反超吧？看到对方与方位角差异不断缩小，那应该及时改变自己策略，增大或减小自身滚筒截面夹角至最优截面角来应对。这样双方就进入一个来来回回，不断增大或减小截面夹角的动态博弈过程。”
不过叶蒙却说道，“小傻瓜，如果放在仿真空战那种缠斗窗口较长的游戏中的确如此，只不过对应的轨迹模型要改一下，而在机动窗口极短的超机动空战中，玩家是没时间根据对方状态实时调整自身策略的。所以优势方只能提前算好如果劣势方采用最优截面夹角滚筒，那么实现方位角反超大概要多久，然后在快要被对方反超时就按自身最优截面夹角来滚筒。”
“不是，你这说的也是要判断自己快要被反超这一情形啊，和我说的不一样么？”
叶蒙摇摇头，“不一样啊，我说的'自己快要被反超不是实时观看对方状态来判断的'，而是提前准备好，然后在这个时间点直接改变策略就行。比如提前算好对方会在0.4秒后反超，那么自己就在追击对方0.4秒后直接改变滚筒策略就行。这就像打moba游戏，已经预判对方走位，那就可以提前在对方落脚点放技能，然后等着对方撞上来就行。”
“但是你之前不是说超机动空战机动窗口极短，没时间改变策略吗？”太明珠问道。
“只是没法根据实时状态改变策略而已，提前算好的还是可以执行的。弹钢琴的每秒都能弹好几个键，大作战中只是做一两次策略改变也不难，而且这种策略转变其实并不是用于在同一机动窗口内作战的。”
“不用于同一窗口作战？这话怎么说？”太明珠问道。
“还是窗口极短的原因，不管优势方有没有改变策略，基本上都是与对方进入机动窗口后就马上远离至射程之外了，而改变策略只是为了脱离窗口后自己别位于对手前方，方便在下一机动窗口中取得优势。”
“这样啊，那你一开始别说机动窗口内用的是固定策略嘛，简直是误导我。”太明珠嘟着小嘴抗议道。
叶蒙笑了笑，“好吧，我错了。其实说是固定策略也没错，因为在窗口内执行的策略都是之前计划好的，而且我也没想到除了固定策略外有什么合适的叫法。”
“叫计划策略就行了啊。”
“好的，那就依我家小明珠的叫法。”叶蒙捏了捏太明珠的小脸笑道。
本来太明珠比叶蒙年龄大，但在请教问题的时候她感觉自己才是年龄更小的那个，所以也很享受叶蒙这种时不时捏捏脸、摸摸头的动作。她顺势靠进叶蒙怀里，又说道，“我还有几个问题。”
“问吧。”
“你说的这种劣势方采用最优角滚筒的办法，只适用于两架战机的柱螺线中轴同向的情况吧，两架战机就像dna螺旋那样，但要是两架战机的柱螺线中轴不同向呢？”
叶蒙答道，“只要两架战机中，没有哪架执行了比较糟糕的策略，或者一开始就想着逃跑，那么双方就会进入这种柱螺线中轴同向的滚筒中，简称同向轴滚筒。”
“为啥呀？”
“超机动空战中的战机核心目标是取得方位角优势。要实现这个目标，战机在落于劣势时需要尽量增大自己相对对方的角速度，这就需要尽快靠进对方身侧，这就需要朝着对方附近转向。
在优势时需要直接指向对方，也相当于向对方附近转向。
在均势时也需要尽量向对方位置附近转向，不然不这么做的一方的方位角就会增大，而对方的方位角会减小。
而只要双方都朝着对方附近转向，那就会形成同相轴滚筒，这点可以通过公式推导证明的。”
叶蒙正要拿起笔做推导，就被太明珠打断，
“等下，我不怀疑朝着对方附近转向就能形成同相轴滚筒，但你说的第一点似乎和之前劣势方要采取最优角滚筒有些矛盾啊。比如这样，”
太明珠抽出叶蒙手里的笔，在笔记本上画了个简图，然后说道，
“两架战机在做同向轴滚筒，滚转率占优，哦不对，擅长大截面夹角滚筒的战机位于更前方，也就是处于方位角劣势。那么按照之前最优角策略的说法，它需要增大截面夹角进行滚筒，这样的话它沿螺线中轴方向的速度分量就相对对方会增大，哪怕双方都处于减速中，这样就会远离对方，它的主法向量与中轴交点也会远离对方，这就和你说的要向对方附近转向的说法矛盾啊。”
“nonononono，你想岔了。你说的这是双方都沿着固定中轴滚筒的情况，在仿真空战游戏中可能会有，但在超机动空战中几乎不会存在，双方的中轴线一直在变动的。”
叶蒙接过笔，将图改了改，然后解释道，
“这时候前面这架劣势的战机，真正改做的是朝着后面这架优势战机的身侧飞去，然后在优势战机身侧滚筒。这样劣势机其实是没有远离优势机的，反而可能还更靠近了，所以以上两种说法没有矛盾。
而这时优势机只要继续朝劣势机转向，那么就会被带入大截面夹角滚筒，或者说小半径滚筒，然后落于劣势。”
“啊，这样啊！”
太明珠恍然道，
“这架优势战机是位于螺线圆柱的柱面上的，它的身侧也在柱面附近，劣势战机飞过去的话，双方岂不就是在柱面上滚筒了？”
“没错，也就是中轴线会从原来的圆柱中轴移到柱面上，而且随着双方策略改变，中轴线还会不断改变。”
“哇塞！这种轨迹也太复杂了吧！”
太明珠用双手绕着做出一段复杂轨迹来模仿这种机动轨迹，
“这种擅长大截面夹角滚筒的战机，采取的策略还真是抽象，要随时改变滚筒中轴，还有对应截面夹角，怪不得要用微分几何来计算。”
“是啊，而且只要这种大夹角滚筒战机一改变滚筒中轴，擅长小夹角滚筒的战机也要随之改变中轴，不然就会莫名其妙一下就冲到对方前面。”
“好的，”太明珠点点头，又想了一下，“这么说来，有几个我本原想问问题就都有答案了，但是还有几个问题。”
“你继续，我知无不言。”
“这种策略讨论，都是基于两架战机一架擅长小截面夹角滚筒，另一架擅长大截面夹角滚筒来进行的，它们有各自的擅长夹角范围，也就是说当夹角处于某个临界值时，两架战机将会进入相持阶段，谁也不占优势。那么这个临界角怎么算？”
“聪明！”叶蒙夸赞道，“你还是注意到这点了，具体计算就不算了，这里只做粗略计算，方法很简单，都不用推导公式。”
不用推导公式？
太明珠很好奇，然后就继续看叶蒙不用公式怎么计算这个临界角。
只见叶蒙在纸上画了两个矩形，它们左下角处于同一点，只不过两个矩形一个高一些，一个扁一些，二者有重叠，重叠区域也是个矩形。
“矩形边界上每一点的横坐标是战机滚筒俯仰率，纵坐标是滚转率，矩形右上角就是滚转率和俯仰率都能取得最大值的点，就是最优角。”
“哦我明白了！”太明珠惊喜道，“它俩重叠区域矩形的右上角就是就是临界角，在这里双方的俯仰率和滚转率都相同，然后偏一点就是其中一方占优了。”
叶蒙点点头。
“哇！亲爱的你太厉害了，用这么简单的图就表示出来了，MUA！”
太明珠一下扑了上去，叶蒙接住了她，也接住了这招甜蜜攻击。然后他又有些谦虚地说，
“呵呵还好啦，这只是粗略计算，具体还得考虑减速率，虽然也能用两个框重叠的方式计算临界角，但框的形状算起来要更复杂一些。”
“哎呀，那些能算出来就行啦，反正你这种框重叠方式就是很厉害！”
“你就不问问这种方式，以及用古典微分几何来研究空战的方法是不是记忆碎片给我的？”
“哎？你不是说这个无人机大作战是你自己想出来的吗？”
“是我自己想的啊，它的设定又不复杂。”
“那你还说大作战的这套空战理论是记忆碎片给的？”
“我没说是给的啊，只是让你这样问问。”
“啊？难道说——”太明珠有点儿不可思议看着叶蒙。
然后叶蒙点点头，“没错，这套古典微分几何空战方法完全是我自己想出来的，当然还不太成熟。”
“什么？！”
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