一百零二 古典微分几何空战
“古典微分几何？是黎曼几何之前的微分几何内容吗？”
太明珠问道。
黎曼几何是古典微分几何和现代微分几何的分界线，前沿的机器人研究会用到现代微分几何知识，太明珠自然对此有所了解。
叶蒙说道，“看来你已经知道古典微分几何内容了？那这部分内容就直接跳过了。”
“没有，我只知道一些现代微分几何知识，对古典微分几何没有了解。”太明珠摇摇头。
现代微分几何和古典微分几何完全是两个学科，学习现代微分几何不需要以学习前者为基础，所以太明珠这么说也不奇怪。
“这样啊，没事，古典微分几何就是些曲线曲面论，而这里的空战理论只会用到曲线理论，只要有点儿微积分和线代基础就能学，我给你讲讲，凭你的学习能力应该很快就懂了。”
“嗯嗯。”
“这里先解释下为什么空战技术会用到微分几何曲线理论，因为战机在空中的飞行轨迹就是直线或曲线，主要是曲线，只要我们能计算出任意策略下的轨迹曲线坐标函数，那也就能预测战机的飞行轨迹，从而知道其中最优的飞行轨迹，然后就能反过来得到最优飞行策略了。”
“诶？这不是很正常的思路么？难道能量空战论不是这么研究的？”太明珠疑惑道。
“不是，”叶蒙摇摇头，“我也比较奇怪，能量空战论中给了各种战机性能图表和公式，还用空气动力学计算推导了一大堆东西，但就是不从微分几何角度来研究一下。有可能是因为传输函数也能做轨迹预测，所以专业人员就没想着用古典微分几何来研究。”
“那这样也就不奇怪了。你提的用远程机器人、飞艇、机甲这些东西的应用思路不也挺简单的么？但之前就是没人注意到。既然现在古典微分几何理论是你提出的，那这种理论应用路线被人漏掉也正常。”
“有可能，这里也不管这些了，反正用古典微分几何描述空战可以得到一些很有用的理论技术，内容也简单。”叶蒙说道。
“ok，你继续。”
“既然要计算战机轨迹曲线，那我们就先分析下曲线的基本性质，古典微分几何的曲线理论就从这里开始讲解。”
曲线有无限多种，但都可以分为两类。曲线上的点都位于同一平面内的曲线是弯曲曲线，这些点位于不同平面内的曲线是扭曲曲线。
三维空间中绝大部分曲线其实都是扭曲曲线。事实上，弯曲曲线也可以算作扭曲曲线，只不过是一种特殊扭曲曲线。
“这点后面会讲到，而曲线理论其实就是研究扭曲曲线的理论。扭曲最核心的两个性质是曲率和挠率。曲率就是曲线上走过单位长度所改变的角度，它表示的是曲线在指定点处的弯曲程度。这是高中知识对吧，不多讲。而挠率表示的是曲线的扭曲程度，那么它到底是怎么表示的呢？”
叶蒙在笔记本上画了条简单扭曲曲线，然后在曲线上一点处画了几条直线和几个平面，看起来像是构成了一个笛卡尔坐标系。然后叶蒙讲解道，
“这个沿切线方向的箭头是切向量，从这点指向曲率圆心的是箭头是法向量，也叫主法向量，然后用右手法则，大拇指指向的这个箭头叫做副法向量。
另外这三个平面也解释下，垂直于曲线的这个面叫做法平面，切向量和主法向量构成的这个平面叫做密切平面，切向量和副法向量构成的这个平面叫做从切平面。这三个向量和平面构成的系统叫做伏雷内标架。
主法向量在这里经过单位长度所转动的角度就是刚才说的曲率，而副法向量在这里经过单位长度转动的角度就是所谓的挠率。”
“哦呦！原来挠率是这么定义的啊，以前还真没想过怎样表示曲线扭曲程度。”太明珠惊奇道。
这也正常，其实日常生活中有很多事物或现象涉及的数学或物理原理都很简单，只不过人们往往不去细想。
“没错，”叶蒙点点头，“挺简明的对吧？这里我们用这三个向量描述下这种空间曲线的曲率和挠率的表达式。”
不过叶蒙刚动笔，就说道，“算啦，网上有现成的，就不先推导了，等我搜一下。”
“不用了，我知道怎么表示了。”
太明珠接过笔，不写任何推导过程，就啦啦啦写下曲率和挠率的表达式。
“我去！秒推？”叶蒙被惊到了。
“也不是啦，别忘了我可以同时思考多件事，你在画图时我就在想曲率表达式了，然后挠率表达式和曲率表达式推导过程有重复的地方，所以在刚才咱俩说话时就推出来了。”
“哎呀！你这能力太让人羡慕了，可惜学不来。”叶蒙揉揉太明珠的头，一脸佩服道。
“嘻嘻，小case啦，快点儿，你接着讲吧。”
“ok。如果一条曲线的曲率和挠率恒定，那这条曲线会怎么变化呢？”
太明珠很快答道，
“螺旋前进那种线，像dna，只不过只是其中一条。”
“还有其他例子呢？”
“很多例子吧，比如螺丝的螺纹、立交桥的上升下降弯道、螺旋楼梯、空战中的——”说到这里，太明珠突然眼睛一亮，“哦！滚筒曲线！你要说的就是这个？”
“没错，咱们游戏中对头或者规避敌人进攻就经常用到这种机动轨迹，这种轨迹或者这种曲线，在微分几何上叫做圆柱螺线，简称柱螺线。当然机动轨迹千变万化，也不止这一种，不过没关系，我们这里先将柱螺线坐标函数写出来。明珠小天才，这个表达式你想好了吗？”
“嗯——”
太明珠想了两秒钟，就直接动笔写下柱螺线坐标函数，然后得意说道，
“当当当当！怎么样，没错吧？”
“我得搜一下才知道对不对，我可记不住这些公式，不过算了，你写的肯定没错，相信你。”叶蒙刮了下太明鱼鼻子说道。
“嘻嘻嘻，那接下来呢？”
“这里先解答之前的一个问题，那就是弯曲曲线为什么是一种特殊的扭曲曲线？因为只要曲线的挠率恒定为零，它就是弯曲曲线，也就是说弯曲曲线其实是条挠率为零的扭曲曲线。
然后说第二点，任何扭曲曲线，都可看做一段一段的柱螺线组成的扭曲曲线。当然也可看做一段段直线组成的曲线，只不过这里用柱螺线来分析更合适一些，事实上接下来也是用柱螺线来分析空战轨迹。”
“嗯嗯。”太明珠点点头。
“不过这里我们先将空战轨迹分析范围缩减一下，不然战机轨迹有无数种，我们不可能去分析每一种。而简化的方式倒不是用微分几何，就是根据空战经验简化，这里内容有部分之和你说过，这里我再系统地说一下吧。”
叶蒙所讲述的古典微分几何空战技术是针对大作战的超机动空战的，尤其是团战，所以他就拿大作战团战为分析对象。
“先将战斗类型做下分类，我大致将大作战空战分为1vN和Nv1两大类。”
1vN就是在同一时段内玩家面对n个敌人的袭击，nv1就是反过来，玩家和其余队友总共n个人同时进攻一个敌人。
“这什么只分为这两类？nvn呢？这不是团战中常有的情况么？”太明珠疑惑道。
“因为一个玩家同时只能进攻一个敌人，虽然有可能子弹会同时打到两个，但那是极小概率事件，所以事实上不存在n个人同时攻击另外n个人的情况。”
“懂了，你继续。”
“由于这里讲的主要是超机动团战打法，玩家首要需要做的是以尽量高的频次进攻敌人，没时间好好调整进攻敌人的角度，而超机动空战中瞄准射击敌人又都是由系统控制完成，所以对于nv1的情况，大家的打法都一样，谈不上什么打法，所以这里只关注1vn情况。”
1vn的n如果大于等于3，并且三人都是以交叉火力进攻，那其实也不用考虑怎么应对了，因为一般在这种情况下，玩家在三个维度上的移动都被对方火力封死了，基本躲不掉的。而且这种情况发生概率极小，所以还是不用去考虑，遇到了就听天由命。
而对于1v2，如果两人轨迹夹角很小，那就当做1v1，然后尽量用对冲方式交错避开。如果两人轨迹夹角明显大于零，那就沿二者连线的中垂面做变向机动规避。
当然最好是沿二者与自己连线并经过自己的法平面交线，做靠近两架敌机连线中点的变向机动，这样能让战力相对两架敌机的角速度达到理论最大，同时又保持变向，防止被朝预瞄点飞来的弹幕击中，这样躲避的概率更高。
不过实际空战中其实也没那么高要求，做到前一点就已经有较高的规避成功率了。
“这是我之前就跟你说过的，还记得么？”
“嗯嗯，”太明珠比个ok的手势晃了晃。
“不过相比起1v2，1v1才是团战中最常遇到的情况，而这里的1v1不是常规意义上的单挑，毕竟单挑是双方都根据对方行为来做出相应行为，而团战中有很多1v1是只有一方根据对方行为太决定自己的行为，比如偷袭中，如果偷袭成功了，那么被偷袭者可能到死都没注意到投资者。所以1v1算是一种广义的单挑。”
当然大作战中有雷达预警，所以传统那种在对方毫无准备情况下袭击到对方也是不太可能的，这里的偷袭主要指偷袭者将枪口指向对方，哪怕对方因为预警而有所准备，但至少也需要改变轨迹来躲避攻击，这样就会暂时失去进攻他人的机会，甚至让自己陷入不利局面中。
另外团战中的1v1一般很短暂，因为持续与单架敌机纠缠可能半天杀不死对方，还可能因此被他人偷袭。
“所以可以说，超机动团战对于各架战机而言，主要就是由一段段短暂的广义单挑组成的。不过对广义单挑还可以再简化一下，更利于我们分析。”
“简化为攻击窗口对吧？”太明珠问道。
叶蒙之前和太明珠讲过，在大作战的超机动空战中，由于战机机动半径和射程相比战机速度很小，所以对于1v1——也就是进行广义单挑——的两架战机，基本都是先相互靠近到射程内，然后就立马远离到射程之外。
虽然跑到射程外以后可能会再次相互靠近，又跑到射程里来，但这样的话，主动靠近对方的战机——不管是一架还是两架——采用的策略基本只有立马转向对方，同时像对方高速冲来，等接近射程时再采用各种所需要的单挑机动。
如果此时只有一架战机想要主动靠近对方，而对方只是想做其他事情去，那么不管对方要做什么事去，这些事也只会分为要主动靠近另一架敌机和不主动靠近另一架敌机。
只要是要主动靠近另一架敌机，那么采取的策略与要主动靠近它的敌机也是一样的。如果不主动靠近另一架敌机，那就准备等主动靠近它的敌机在接近射程后再做应对。而这种应对也是属于射程范围内的机动。
“扯了这么半天，其实就是要说，在广义单挑中，两架战机在明显远离射程的这一过程中做的机动都是比较简单单一的，只有在这以内才会做复杂机动，所以我们只要对这段机动做分析就好了，这里也将这段机动叫做窗口机动。”叶蒙说道。
“那这个明显远离是怎么定义的呢？或者说窗口机动的距离是多少呢？”太明珠问道。
“分情况。其实战机机动半径大多在三十米以内，射程也是三十米，大多数时候战机真正需要做复杂单挑机动的距离也是三十米以内。但战机穿过三十米距离时间太短，玩家反应不过来，所以就以五十米为划分标准，给玩家预留一定的准备时间。
不过战机以不同方向靠近所需时间也不同，所以如果向逆而行就大概八十米，同向而行大概五十米，大概垂直的话就六十五米。”
“明白，”太明珠点点头，但又问道，“但战机每次在射程内的机动时间也很短啊，以人类的反应速度，真的有时间去仔细分析并制定策略吗？”
“当然没时间，所以在每次窗口机动内，机动策略都是固定的。”
太明珠问道。
黎曼几何是古典微分几何和现代微分几何的分界线，前沿的机器人研究会用到现代微分几何知识，太明珠自然对此有所了解。
叶蒙说道，“看来你已经知道古典微分几何内容了？那这部分内容就直接跳过了。”
“没有，我只知道一些现代微分几何知识，对古典微分几何没有了解。”太明珠摇摇头。
现代微分几何和古典微分几何完全是两个学科，学习现代微分几何不需要以学习前者为基础，所以太明珠这么说也不奇怪。
“这样啊，没事，古典微分几何就是些曲线曲面论，而这里的空战理论只会用到曲线理论，只要有点儿微积分和线代基础就能学，我给你讲讲，凭你的学习能力应该很快就懂了。”
“嗯嗯。”
“这里先解释下为什么空战技术会用到微分几何曲线理论，因为战机在空中的飞行轨迹就是直线或曲线，主要是曲线，只要我们能计算出任意策略下的轨迹曲线坐标函数，那也就能预测战机的飞行轨迹，从而知道其中最优的飞行轨迹，然后就能反过来得到最优飞行策略了。”
“诶？这不是很正常的思路么？难道能量空战论不是这么研究的？”太明珠疑惑道。
“不是，”叶蒙摇摇头，“我也比较奇怪，能量空战论中给了各种战机性能图表和公式，还用空气动力学计算推导了一大堆东西，但就是不从微分几何角度来研究一下。有可能是因为传输函数也能做轨迹预测，所以专业人员就没想着用古典微分几何来研究。”
“那这样也就不奇怪了。你提的用远程机器人、飞艇、机甲这些东西的应用思路不也挺简单的么？但之前就是没人注意到。既然现在古典微分几何理论是你提出的，那这种理论应用路线被人漏掉也正常。”
“有可能，这里也不管这些了，反正用古典微分几何描述空战可以得到一些很有用的理论技术，内容也简单。”叶蒙说道。
“ok，你继续。”
“既然要计算战机轨迹曲线，那我们就先分析下曲线的基本性质，古典微分几何的曲线理论就从这里开始讲解。”
曲线有无限多种，但都可以分为两类。曲线上的点都位于同一平面内的曲线是弯曲曲线，这些点位于不同平面内的曲线是扭曲曲线。
三维空间中绝大部分曲线其实都是扭曲曲线。事实上，弯曲曲线也可以算作扭曲曲线，只不过是一种特殊扭曲曲线。
“这点后面会讲到，而曲线理论其实就是研究扭曲曲线的理论。扭曲最核心的两个性质是曲率和挠率。曲率就是曲线上走过单位长度所改变的角度，它表示的是曲线在指定点处的弯曲程度。这是高中知识对吧，不多讲。而挠率表示的是曲线的扭曲程度，那么它到底是怎么表示的呢？”
叶蒙在笔记本上画了条简单扭曲曲线，然后在曲线上一点处画了几条直线和几个平面，看起来像是构成了一个笛卡尔坐标系。然后叶蒙讲解道，
“这个沿切线方向的箭头是切向量，从这点指向曲率圆心的是箭头是法向量，也叫主法向量，然后用右手法则，大拇指指向的这个箭头叫做副法向量。
另外这三个平面也解释下，垂直于曲线的这个面叫做法平面，切向量和主法向量构成的这个平面叫做密切平面，切向量和副法向量构成的这个平面叫做从切平面。这三个向量和平面构成的系统叫做伏雷内标架。
主法向量在这里经过单位长度所转动的角度就是刚才说的曲率，而副法向量在这里经过单位长度转动的角度就是所谓的挠率。”
“哦呦！原来挠率是这么定义的啊，以前还真没想过怎样表示曲线扭曲程度。”太明珠惊奇道。
这也正常，其实日常生活中有很多事物或现象涉及的数学或物理原理都很简单，只不过人们往往不去细想。
“没错，”叶蒙点点头，“挺简明的对吧？这里我们用这三个向量描述下这种空间曲线的曲率和挠率的表达式。”
不过叶蒙刚动笔，就说道，“算啦，网上有现成的，就不先推导了，等我搜一下。”
“不用了，我知道怎么表示了。”
太明珠接过笔，不写任何推导过程，就啦啦啦写下曲率和挠率的表达式。
“我去！秒推？”叶蒙被惊到了。
“也不是啦，别忘了我可以同时思考多件事，你在画图时我就在想曲率表达式了，然后挠率表达式和曲率表达式推导过程有重复的地方，所以在刚才咱俩说话时就推出来了。”
“哎呀！你这能力太让人羡慕了，可惜学不来。”叶蒙揉揉太明珠的头，一脸佩服道。
“嘻嘻，小case啦，快点儿，你接着讲吧。”
“ok。如果一条曲线的曲率和挠率恒定，那这条曲线会怎么变化呢？”
太明珠很快答道，
“螺旋前进那种线，像dna，只不过只是其中一条。”
“还有其他例子呢？”
“很多例子吧，比如螺丝的螺纹、立交桥的上升下降弯道、螺旋楼梯、空战中的——”说到这里，太明珠突然眼睛一亮，“哦！滚筒曲线！你要说的就是这个？”
“没错，咱们游戏中对头或者规避敌人进攻就经常用到这种机动轨迹，这种轨迹或者这种曲线，在微分几何上叫做圆柱螺线，简称柱螺线。当然机动轨迹千变万化，也不止这一种，不过没关系，我们这里先将柱螺线坐标函数写出来。明珠小天才，这个表达式你想好了吗？”
“嗯——”
太明珠想了两秒钟，就直接动笔写下柱螺线坐标函数，然后得意说道，
“当当当当！怎么样，没错吧？”
“我得搜一下才知道对不对，我可记不住这些公式，不过算了，你写的肯定没错，相信你。”叶蒙刮了下太明鱼鼻子说道。
“嘻嘻嘻，那接下来呢？”
“这里先解答之前的一个问题，那就是弯曲曲线为什么是一种特殊的扭曲曲线？因为只要曲线的挠率恒定为零，它就是弯曲曲线，也就是说弯曲曲线其实是条挠率为零的扭曲曲线。
然后说第二点，任何扭曲曲线，都可看做一段一段的柱螺线组成的扭曲曲线。当然也可看做一段段直线组成的曲线，只不过这里用柱螺线来分析更合适一些，事实上接下来也是用柱螺线来分析空战轨迹。”
“嗯嗯。”太明珠点点头。
“不过这里我们先将空战轨迹分析范围缩减一下，不然战机轨迹有无数种，我们不可能去分析每一种。而简化的方式倒不是用微分几何，就是根据空战经验简化，这里内容有部分之和你说过，这里我再系统地说一下吧。”
叶蒙所讲述的古典微分几何空战技术是针对大作战的超机动空战的，尤其是团战，所以他就拿大作战团战为分析对象。
“先将战斗类型做下分类，我大致将大作战空战分为1vN和Nv1两大类。”
1vN就是在同一时段内玩家面对n个敌人的袭击，nv1就是反过来，玩家和其余队友总共n个人同时进攻一个敌人。
“这什么只分为这两类？nvn呢？这不是团战中常有的情况么？”太明珠疑惑道。
“因为一个玩家同时只能进攻一个敌人，虽然有可能子弹会同时打到两个，但那是极小概率事件，所以事实上不存在n个人同时攻击另外n个人的情况。”
“懂了，你继续。”
“由于这里讲的主要是超机动团战打法，玩家首要需要做的是以尽量高的频次进攻敌人，没时间好好调整进攻敌人的角度，而超机动空战中瞄准射击敌人又都是由系统控制完成，所以对于nv1的情况，大家的打法都一样，谈不上什么打法，所以这里只关注1vn情况。”
1vn的n如果大于等于3，并且三人都是以交叉火力进攻，那其实也不用考虑怎么应对了，因为一般在这种情况下，玩家在三个维度上的移动都被对方火力封死了，基本躲不掉的。而且这种情况发生概率极小，所以还是不用去考虑，遇到了就听天由命。
而对于1v2，如果两人轨迹夹角很小，那就当做1v1，然后尽量用对冲方式交错避开。如果两人轨迹夹角明显大于零，那就沿二者连线的中垂面做变向机动规避。
当然最好是沿二者与自己连线并经过自己的法平面交线，做靠近两架敌机连线中点的变向机动，这样能让战力相对两架敌机的角速度达到理论最大，同时又保持变向，防止被朝预瞄点飞来的弹幕击中，这样躲避的概率更高。
不过实际空战中其实也没那么高要求，做到前一点就已经有较高的规避成功率了。
“这是我之前就跟你说过的，还记得么？”
“嗯嗯，”太明珠比个ok的手势晃了晃。
“不过相比起1v2，1v1才是团战中最常遇到的情况，而这里的1v1不是常规意义上的单挑，毕竟单挑是双方都根据对方行为来做出相应行为，而团战中有很多1v1是只有一方根据对方行为太决定自己的行为，比如偷袭中，如果偷袭成功了，那么被偷袭者可能到死都没注意到投资者。所以1v1算是一种广义的单挑。”
当然大作战中有雷达预警，所以传统那种在对方毫无准备情况下袭击到对方也是不太可能的，这里的偷袭主要指偷袭者将枪口指向对方，哪怕对方因为预警而有所准备，但至少也需要改变轨迹来躲避攻击，这样就会暂时失去进攻他人的机会，甚至让自己陷入不利局面中。
另外团战中的1v1一般很短暂，因为持续与单架敌机纠缠可能半天杀不死对方，还可能因此被他人偷袭。
“所以可以说，超机动团战对于各架战机而言，主要就是由一段段短暂的广义单挑组成的。不过对广义单挑还可以再简化一下，更利于我们分析。”
“简化为攻击窗口对吧？”太明珠问道。
叶蒙之前和太明珠讲过，在大作战的超机动空战中，由于战机机动半径和射程相比战机速度很小，所以对于1v1——也就是进行广义单挑——的两架战机，基本都是先相互靠近到射程内，然后就立马远离到射程之外。
虽然跑到射程外以后可能会再次相互靠近，又跑到射程里来，但这样的话，主动靠近对方的战机——不管是一架还是两架——采用的策略基本只有立马转向对方，同时像对方高速冲来，等接近射程时再采用各种所需要的单挑机动。
如果此时只有一架战机想要主动靠近对方，而对方只是想做其他事情去，那么不管对方要做什么事去，这些事也只会分为要主动靠近另一架敌机和不主动靠近另一架敌机。
只要是要主动靠近另一架敌机，那么采取的策略与要主动靠近它的敌机也是一样的。如果不主动靠近另一架敌机，那就准备等主动靠近它的敌机在接近射程后再做应对。而这种应对也是属于射程范围内的机动。
“扯了这么半天，其实就是要说，在广义单挑中，两架战机在明显远离射程的这一过程中做的机动都是比较简单单一的，只有在这以内才会做复杂机动，所以我们只要对这段机动做分析就好了，这里也将这段机动叫做窗口机动。”叶蒙说道。
“那这个明显远离是怎么定义的呢？或者说窗口机动的距离是多少呢？”太明珠问道。
“分情况。其实战机机动半径大多在三十米以内，射程也是三十米，大多数时候战机真正需要做复杂单挑机动的距离也是三十米以内。但战机穿过三十米距离时间太短，玩家反应不过来，所以就以五十米为划分标准，给玩家预留一定的准备时间。
不过战机以不同方向靠近所需时间也不同，所以如果向逆而行就大概八十米，同向而行大概五十米，大概垂直的话就六十五米。”
“明白，”太明珠点点头，但又问道，“但战机每次在射程内的机动时间也很短啊，以人类的反应速度，真的有时间去仔细分析并制定策略吗？”
“当然没时间，所以在每次窗口机动内，机动策略都是固定的。”
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