第三章 努力学习也考不了高分
第二天我把想要好好学习的想法告诉了学霸,他很高兴,很欢迎我的加入。
只是阿肥有些失落,因为这意味着从此以后他少了一个一起睡懒觉,打游戏,吹牛的伙伴。
我也和学霸一样开始泡在图书馆里,然而令我惊讶的是发现了不少熟面孔,都是我们系的,好多个我还知道名字。
这么多人都在努力学习,那我也不能落后。
我翻开《高等数学》,打开第三章——微分中值定理与导数的应用,开始复习刚刚学过的泰勒公式:
泰勒公式,也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息,描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下,泰勒公式可以利用这些导数值来做系数,构建一个多项式近似函数,求得在这一点的邻域中的值......
这些我还能看懂。
然而这些......
xo由导数的定义可知,当函数f(x)在点xo处可导时,在点xo的邻域U(xo)内恒有
f(x)=f(xo)+f(xo)(x-x0)+o(x-xo)
因为o(x一xo)是一个无穷小量,故有f(x)≈f(xo)+f(xo)(x-xo)。这是在对函数
进行局部线性化处理时常用的公式之一。从几何上看,它是用切线近似代替曲线。然而,这样的近
似是比较粗糙的,而且只在点的附近才有近似意义。为了改善上述不足,使得近似替代更加精密,
数学家们在柯西中值定理的基础上,推导出了泰勒中值定理(泰勒公式)
若函数f(x)在包含xo的某个开区间(a,b)上具有(n+1)阶的导数,那么对于任一
∞∈(a,b),有
f(xo)。f'(xo)_
f“(xo)/
(x-xo)2+..+
f(o)(xo)。
(x-xo0)n-
f(x)=一
+-
(∞一xo)+
2!
n!
O!
1!
我就看不太懂了。
还有这些......
中,Rn(x)=
(e(x-x0)0+1,此处的ε为工与x之间的某个值。f(x)称为
(n+1)!
n阶泰勒公式,中,P(x)=f(x0)+f(xo)(x-x0)+...+
f(m)(x0)
(x-xo)”称
n!
为n次泰勒多项式,它与f(x)的误差Rn(x)=
f0+1)(e),
(x-xo)
)n+1称为n阶泰勒余
(n+1)!
项
如果函数f(x)的n+1阶导数在N(xo)上有界M,从而有
Rn(x)
≤lim
lim
(x-xo)”|=→20(n+1)!
|x-xo|=0
表明Rn(x)=o((x-xo)“),另外也可证明对固定的x,当n→∞时,Rn(x)→0,
即,要想使f(x)与Pn(x)误差减小,则可将|x-ro|取小,也可将n取大。在n阶泰勒公式
中,xo=0,从而可得
f(x)=f(0)+f(0)(x)+
f(0)
(2)2+..+
fm),(0)
(x)“+Rn(x)
2!
此时Rn(x)为R,(x)=
f(n+1)(e),
(x)“+1,其中ε为xo与x之间的某个值,该式称为函
(n+1)!
数f(x)在x=0处的n阶泰勒公式,也称作f(x)的n阶麦克劳林(Maclaurin)公式,其余项
常写为o(x“)或者
f(n+1)(0x)
-xm+1(0<0<1)两种形式,用n+1阶导数表示的余项叫拉格
(n+1)!
朗日余项,用o(x“)或者o((x-xo)”)表示的余项叫作皮亚诺(Peano)项
我就更看不懂了。
找学霸给我讲了两遍,不太懂,我也不太好意思再麻烦他了。
于是去找了陈家康,一个上高数课总能正确回答老师问题的人。
他又给我讲了一遍,还是不太懂。
一上午的时间连个泰勒公式的中值定理都没搞明白,不免有些灰心,但万事开头难,不能因为一点挫折就放弃。所以我决定下午继续攻坚克难。
下午的图书馆仍旧坐满了人,我还在为这该死的公式费脑筋。
看到了我的停滞不前,陈家康建议我说:
“张伟,你要是暂时不懂泰勒公式的中值定理,也可以先复习一下罗尔定理。”
“但是——”他接着道:
“你要先明白它的证明过程——。”
证明:因为函数f(x)在闭区间[a,b].上连续,所以存在最大值与最小值,分别用M和m表示,分
两种情况讨论:
1.若M=m,则函数f(x)在闭区间[a,b]上必为常函数,结论显然成立。
2.若M>m,则因为f(a)=(b)使得最大值M与最小值m至少有-个在(a,b)内某点ξ处取得,从
而是f(x)的极值点,又条件f(x)在开区间(a,b)内可导得,f(x)在ξ处取得极值,由费马引理,可导
的极值点一定是驻点,推知:f=0。
另证:若M>m,不妨设=M,ξ∈(a,b),由可导条件知,f(ξ+)<=0,f(-)>=0,又由极限存在
定理知左右极限均为0,得证。
我还在思考这个过程是怎么论证的,他又说话了:
“但是这个定理也有几种特殊情况——”
(1)有界开区间上的有界函数
若函数f(x)在区间(a,b)上连续目可导,并有lian。f(x)=。li。f(x)=+∞(或
.-∞),则至少存在一个ξ∈(a,b),使得f'=0。
(3)无界区间上的有界函数
若函数f(x)在区间(-∞,+∞)上连续且可导,并有。lim。
_limf(x)=.1
f(x)=A,则
至少存在一-个ξ∈(-∞,+∞),使得f(E)=0
(4)无界区间上的无界函数
若函数f(x)在区间(--∞,+∞)上连续且可导,瓶limf(x)=,lim,f(x)=+∞
∞→++0xc
(或-∞),则至少存在一个ξ∈(-∞,+∞)。使得f'(ξ)=0
(5)半无界区间上的有界函数
若函数f(x)在区间[a,+∞o)上连续且可导,并有。limf(x)=f(a),则至少存在-个
ξ∈(a,+∞),使得f“=0
(6)半无界区间上的无界函数
若函数f(x)在区间[a,+∞)上连续且可导,并有。lim,f(x)=
limf(x)=+∞(或
-∞),则至少存在一个ξ∈(a,+∞),使得f'(5)=0
证明
这里仅选择特殊情况(2)、(3)加以证明,其余证明的思路大致类似。
定理若函数f(x)在区间(-o,+o∞)上连续且可导,并有,limf(x)=,limf=A
果-3+0∞
则至少存在一-个ξ∈(←∞,+∞),使得f(6)=0。
证明:至少可取到-点c∈R,使f(c}≠A,则f(x)恒等于A,对于任意的实数ξ,都
有f“=0
不妨设f(c)
A-f(c)
显然e>0.根据极限定义,由limf(x)=A
可得
证明:任取c∈R,因为。lim.f(x)=+∞,所以至少存在一点a∈(-∞,c),使
f(a)>|f(c)
于是,f(x)在闭区间[a,可上连续,则在闭区间[a,6]上必有f(x)的最小值点ξ,由于闭区
间[a,6]的两个端点都不可能是f(x)的最小值点,由此可知ζ∈(a,b),根据费马定理可知
f'(ξ)=0
或许这些对陈家康来说很简单,但在我眼中这就是天书。从前班上学习不好的同学总说课本就像天书一样难懂,我还觉得他们矫情。现在发现,我也成了矫情的人。
刚才陈家康在讲题的时候,学霸也过来听了好一会儿,之后我看见他回座位拿笔对着书本在纸上写了又写,写了又写,大概是演算不顺吧,他又看着书,而左手反复地抓头发,抓起,松开,松开,再抓起。
学霸想必也很苦恼吧,他并不聪明,他只是努力。
第二天清晨,学校的土操场上一个少年拿着本书在大声地背诵英语单词:
“sun!sun!Sun!”
“rise!rise!rise!”
“sun!sun!Sun!”
“rise!rise!rise!”
......
这个大清早在操场背单词的少年,就是我。
学霸没有跟我一起,他去教室继续刚高数了。
我不像他那么头铁,学习要讲究方法,既然打不过那我就绕开它,先攻英语。
学习带来的充实感使我愉悦,虽然这愉悦和充实更像是一种对大脑的麻痹和欺骗。
当一个人觉得自我高大起来的时候,他就会以自我的角度居高临下地看着周围的人,甚至为他们担心。
现在的我就在担心豪哥,阿肥不管怎样还能学一点,豪哥天天早出晚归,几乎是一点都不学啊,有好多次直接就翘课了。
那天晚上我向他表达了我的担心,他却笑嘻嘻地说:
“没事,不用担心,这些课考前突击复习一下就能过了,好多人都是这样的。”
我不相信,毕竟高数这么难,我费了那么大的劲都学不明白,又怎么可能有人随便突击几天就能及格?但话已至此,多说无益,我也就闭上了嘴。
在学校的时间总是过得很快,我不愿用白驹过隙这个被频繁使用的词语去形容它,但确实就是这个意思。
而我也不像当初立志时那么坚定,一天又一天枯燥无聊的学习如流水腐蚀岩体那样,侵蚀了我的意志,偶尔我也会偷偷地打把王者,看两集动漫,或者睡个懒觉。
但当我将比较的目光看向豪哥和阿肥时,心中又会感到些许优越感,那优越感中还夹杂着几丝窃喜。
不管怎样,我还是比他们强的么,毕竟我在学习上投入了那么多时间。
转眼期末周快要到了,在最后一节高数课上,老师划了考试范围和重点,这一天教室又恢复了第一次高数课的盛况,无人翘课,无人睡觉,全体人员,认真听讲。
“咳咳!”
老师清了清嗓子,说道:
“第一章里面极限的定义是要考的,函数的运算与初等函数的连续性也是要考的,都是小题,同学们不用担心;
天冷了,老师喝了口保温杯里的水,翻了一页,接着说,
“第四章主要就是不定积分,考的话也就是换元积分法,分部积分法,没什么可说的,但大家一定要把积分表背熟了,别背错了。定积分的话,掌握好概念和性质,具体我就不说了,换元法和分部积分法好好练练......”
老师又圈圈划划了一大堆,等我们都记完了,他拧开保温杯盖子,吹了吹冒着的热气,喝了一口,接着说:
“以上这些啊,是给那些准备考高分的同学说的,要是对自己不太自信的同学,只想不挂科,那就把咱们这学期的作业卷子多刷几遍,把解题步骤弄懂,及格不难。”
接下来的两周我们宿舍进入了全面备战状态,阿肥卸载了王者,下了个作业帮和小猿搜题;
豪哥也没去学生会了,最近我常常在图书馆看到他,和唐钰挨着坐一个桌子,这让我再次惆怅;
而学霸更加夸张,这两周都没见他回宿舍睡午觉。
两周后,我们迎来了《高数》考试。考前我极为恐慌,但当拿到试卷时,发现好多都只是作业上的原题换了个数字,只要解题步骤背清楚了就没问题。
用了一个多小时,我做完了试卷上所有我会的题目,算了算分值,及格没问题了,幸运的话没准能上70。
剩下的时间不多了,剩下的题我也不会做了,于是扣上笔帽等待交卷。黑板上挂着的时钟滴答滴答,我环顾四周,同学们还在奋笔疾书,看着桌子上的试卷,我突然觉得这一切无比可笑:
高数课教给我们一堆晦涩难懂,弯弯绕绕,我想除了考试这辈子都用不到的数学知识,还美其名曰:
“培养理性思维,提高文科生分析问题的能力,展现数学之美”,
然而除了死记硬背下一些高数题目的解题步骤之外,我并没有觉得在理性思维上我有丝毫提升,当然,高数之美更是无从谈起。
说的直白一些,我觉得学高数的目的就是考试,
为了考试而学习,这多么荒谬啊!
那一刻我觉得“学以致用”四个字竟是如此遥远。
但我还是要感谢老师,虽然在他的课上我没有收获什么有用的东西,但毕竟他教给了我考试及格的方法,没有难为我。
帮我一把是情分,不帮也是本分,我又能再去奢求什么呢?
或许老师更明白这门课对于我们这些纯文科生的意义,大家都是在现有规则内行事,既然都无力改变,那就我把栅栏抬高一些,你们把身子放低一些,就过去了,你好我好大家好。
如果这么一想,老师才是大智若愚。
“叮——铃铃!”考试结束,我起身把考卷递给了监考老师,转身走出了教室。
这之后我们又陆续参加了《大学英语》考试,《思修》考试,《管理学原理》考试。几天后,分数出来了:
高数73
英语83
思修87
管理学原理85
公管系一共58人,我排第17,班里边有20人,我是第7名。而学霸在系里和班里的排名,是第4和第2。
离谱的是全靠考前突击复习的阿肥和豪哥,成绩并没有比我差多少,反而豪哥和阿肥的高数还比我高两分,都考了75。
我问阿肥为什么,他憨憨地回答我:“可能我记忆力好一些吧。”
我又去问豪哥。
“都是唐钰教得好。”豪哥的语气颇为自豪。
只是阿肥有些失落,因为这意味着从此以后他少了一个一起睡懒觉,打游戏,吹牛的伙伴。
我也和学霸一样开始泡在图书馆里,然而令我惊讶的是发现了不少熟面孔,都是我们系的,好多个我还知道名字。
这么多人都在努力学习,那我也不能落后。
我翻开《高等数学》,打开第三章——微分中值定理与导数的应用,开始复习刚刚学过的泰勒公式:
泰勒公式,也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息,描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下,泰勒公式可以利用这些导数值来做系数,构建一个多项式近似函数,求得在这一点的邻域中的值......
这些我还能看懂。
然而这些......
xo由导数的定义可知,当函数f(x)在点xo处可导时,在点xo的邻域U(xo)内恒有
f(x)=f(xo)+f(xo)(x-x0)+o(x-xo)
因为o(x一xo)是一个无穷小量,故有f(x)≈f(xo)+f(xo)(x-xo)。这是在对函数
进行局部线性化处理时常用的公式之一。从几何上看,它是用切线近似代替曲线。然而,这样的近
似是比较粗糙的,而且只在点的附近才有近似意义。为了改善上述不足,使得近似替代更加精密,
数学家们在柯西中值定理的基础上,推导出了泰勒中值定理(泰勒公式)
若函数f(x)在包含xo的某个开区间(a,b)上具有(n+1)阶的导数,那么对于任一
∞∈(a,b),有
f(xo)。f'(xo)_
f“(xo)/
(x-xo)2+..+
f(o)(xo)。
(x-xo0)n-
f(x)=一
+-
(∞一xo)+
2!
n!
O!
1!
我就看不太懂了。
还有这些......
中,Rn(x)=
(e(x-x0)0+1,此处的ε为工与x之间的某个值。f(x)称为
(n+1)!
n阶泰勒公式,中,P(x)=f(x0)+f(xo)(x-x0)+...+
f(m)(x0)
(x-xo)”称
n!
为n次泰勒多项式,它与f(x)的误差Rn(x)=
f0+1)(e),
(x-xo)
)n+1称为n阶泰勒余
(n+1)!
项
如果函数f(x)的n+1阶导数在N(xo)上有界M,从而有
Rn(x)
≤lim
lim
(x-xo)”|=→20(n+1)!
|x-xo|=0
表明Rn(x)=o((x-xo)“),另外也可证明对固定的x,当n→∞时,Rn(x)→0,
即,要想使f(x)与Pn(x)误差减小,则可将|x-ro|取小,也可将n取大。在n阶泰勒公式
中,xo=0,从而可得
f(x)=f(0)+f(0)(x)+
f(0)
(2)2+..+
fm),(0)
(x)“+Rn(x)
2!
此时Rn(x)为R,(x)=
f(n+1)(e),
(x)“+1,其中ε为xo与x之间的某个值,该式称为函
(n+1)!
数f(x)在x=0处的n阶泰勒公式,也称作f(x)的n阶麦克劳林(Maclaurin)公式,其余项
常写为o(x“)或者
f(n+1)(0x)
-xm+1(0<0<1)两种形式,用n+1阶导数表示的余项叫拉格
(n+1)!
朗日余项,用o(x“)或者o((x-xo)”)表示的余项叫作皮亚诺(Peano)项
我就更看不懂了。
找学霸给我讲了两遍,不太懂,我也不太好意思再麻烦他了。
于是去找了陈家康,一个上高数课总能正确回答老师问题的人。
他又给我讲了一遍,还是不太懂。
一上午的时间连个泰勒公式的中值定理都没搞明白,不免有些灰心,但万事开头难,不能因为一点挫折就放弃。所以我决定下午继续攻坚克难。
下午的图书馆仍旧坐满了人,我还在为这该死的公式费脑筋。
看到了我的停滞不前,陈家康建议我说:
“张伟,你要是暂时不懂泰勒公式的中值定理,也可以先复习一下罗尔定理。”
“但是——”他接着道:
“你要先明白它的证明过程——。”
证明:因为函数f(x)在闭区间[a,b].上连续,所以存在最大值与最小值,分别用M和m表示,分
两种情况讨论:
1.若M=m,则函数f(x)在闭区间[a,b]上必为常函数,结论显然成立。
2.若M>m,则因为f(a)=(b)使得最大值M与最小值m至少有-个在(a,b)内某点ξ处取得,从
而是f(x)的极值点,又条件f(x)在开区间(a,b)内可导得,f(x)在ξ处取得极值,由费马引理,可导
的极值点一定是驻点,推知:f=0。
另证:若M>m,不妨设=M,ξ∈(a,b),由可导条件知,f(ξ+)<=0,f(-)>=0,又由极限存在
定理知左右极限均为0,得证。
我还在思考这个过程是怎么论证的,他又说话了:
“但是这个定理也有几种特殊情况——”
(1)有界开区间上的有界函数
若函数f(x)在区间(a,b)上连续目可导,并有lian。f(x)=。li。f(x)=+∞(或
.-∞),则至少存在一个ξ∈(a,b),使得f'=0。
(3)无界区间上的有界函数
若函数f(x)在区间(-∞,+∞)上连续且可导,并有。lim。
_limf(x)=.1
f(x)=A,则
至少存在一-个ξ∈(-∞,+∞),使得f(E)=0
(4)无界区间上的无界函数
若函数f(x)在区间(--∞,+∞)上连续且可导,瓶limf(x)=,lim,f(x)=+∞
∞→++0xc
(或-∞),则至少存在一个ξ∈(-∞,+∞)。使得f'(ξ)=0
(5)半无界区间上的有界函数
若函数f(x)在区间[a,+∞o)上连续且可导,并有。limf(x)=f(a),则至少存在-个
ξ∈(a,+∞),使得f“=0
(6)半无界区间上的无界函数
若函数f(x)在区间[a,+∞)上连续且可导,并有。lim,f(x)=
limf(x)=+∞(或
-∞),则至少存在一个ξ∈(a,+∞),使得f'(5)=0
证明
这里仅选择特殊情况(2)、(3)加以证明,其余证明的思路大致类似。
定理若函数f(x)在区间(-o,+o∞)上连续且可导,并有,limf(x)=,limf=A
果-3+0∞
则至少存在一-个ξ∈(←∞,+∞),使得f(6)=0。
证明:至少可取到-点c∈R,使f(c}≠A,则f(x)恒等于A,对于任意的实数ξ,都
有f“=0
不妨设f(c)
A-f(c)
显然e>0.根据极限定义,由limf(x)=A
可得
证明:任取c∈R,因为。lim.f(x)=+∞,所以至少存在一点a∈(-∞,c),使
f(a)>|f(c)
于是,f(x)在闭区间[a,可上连续,则在闭区间[a,6]上必有f(x)的最小值点ξ,由于闭区
间[a,6]的两个端点都不可能是f(x)的最小值点,由此可知ζ∈(a,b),根据费马定理可知
f'(ξ)=0
或许这些对陈家康来说很简单,但在我眼中这就是天书。从前班上学习不好的同学总说课本就像天书一样难懂,我还觉得他们矫情。现在发现,我也成了矫情的人。
刚才陈家康在讲题的时候,学霸也过来听了好一会儿,之后我看见他回座位拿笔对着书本在纸上写了又写,写了又写,大概是演算不顺吧,他又看着书,而左手反复地抓头发,抓起,松开,松开,再抓起。
学霸想必也很苦恼吧,他并不聪明,他只是努力。
第二天清晨,学校的土操场上一个少年拿着本书在大声地背诵英语单词:
“sun!sun!Sun!”
“rise!rise!rise!”
“sun!sun!Sun!”
“rise!rise!rise!”
......
这个大清早在操场背单词的少年,就是我。
学霸没有跟我一起,他去教室继续刚高数了。
我不像他那么头铁,学习要讲究方法,既然打不过那我就绕开它,先攻英语。
学习带来的充实感使我愉悦,虽然这愉悦和充实更像是一种对大脑的麻痹和欺骗。
当一个人觉得自我高大起来的时候,他就会以自我的角度居高临下地看着周围的人,甚至为他们担心。
现在的我就在担心豪哥,阿肥不管怎样还能学一点,豪哥天天早出晚归,几乎是一点都不学啊,有好多次直接就翘课了。
那天晚上我向他表达了我的担心,他却笑嘻嘻地说:
“没事,不用担心,这些课考前突击复习一下就能过了,好多人都是这样的。”
我不相信,毕竟高数这么难,我费了那么大的劲都学不明白,又怎么可能有人随便突击几天就能及格?但话已至此,多说无益,我也就闭上了嘴。
在学校的时间总是过得很快,我不愿用白驹过隙这个被频繁使用的词语去形容它,但确实就是这个意思。
而我也不像当初立志时那么坚定,一天又一天枯燥无聊的学习如流水腐蚀岩体那样,侵蚀了我的意志,偶尔我也会偷偷地打把王者,看两集动漫,或者睡个懒觉。
但当我将比较的目光看向豪哥和阿肥时,心中又会感到些许优越感,那优越感中还夹杂着几丝窃喜。
不管怎样,我还是比他们强的么,毕竟我在学习上投入了那么多时间。
转眼期末周快要到了,在最后一节高数课上,老师划了考试范围和重点,这一天教室又恢复了第一次高数课的盛况,无人翘课,无人睡觉,全体人员,认真听讲。
“咳咳!”
老师清了清嗓子,说道:
“第一章里面极限的定义是要考的,函数的运算与初等函数的连续性也是要考的,都是小题,同学们不用担心;
天冷了,老师喝了口保温杯里的水,翻了一页,接着说,
“第四章主要就是不定积分,考的话也就是换元积分法,分部积分法,没什么可说的,但大家一定要把积分表背熟了,别背错了。定积分的话,掌握好概念和性质,具体我就不说了,换元法和分部积分法好好练练......”
老师又圈圈划划了一大堆,等我们都记完了,他拧开保温杯盖子,吹了吹冒着的热气,喝了一口,接着说:
“以上这些啊,是给那些准备考高分的同学说的,要是对自己不太自信的同学,只想不挂科,那就把咱们这学期的作业卷子多刷几遍,把解题步骤弄懂,及格不难。”
接下来的两周我们宿舍进入了全面备战状态,阿肥卸载了王者,下了个作业帮和小猿搜题;
豪哥也没去学生会了,最近我常常在图书馆看到他,和唐钰挨着坐一个桌子,这让我再次惆怅;
而学霸更加夸张,这两周都没见他回宿舍睡午觉。
两周后,我们迎来了《高数》考试。考前我极为恐慌,但当拿到试卷时,发现好多都只是作业上的原题换了个数字,只要解题步骤背清楚了就没问题。
用了一个多小时,我做完了试卷上所有我会的题目,算了算分值,及格没问题了,幸运的话没准能上70。
剩下的时间不多了,剩下的题我也不会做了,于是扣上笔帽等待交卷。黑板上挂着的时钟滴答滴答,我环顾四周,同学们还在奋笔疾书,看着桌子上的试卷,我突然觉得这一切无比可笑:
高数课教给我们一堆晦涩难懂,弯弯绕绕,我想除了考试这辈子都用不到的数学知识,还美其名曰:
“培养理性思维,提高文科生分析问题的能力,展现数学之美”,
然而除了死记硬背下一些高数题目的解题步骤之外,我并没有觉得在理性思维上我有丝毫提升,当然,高数之美更是无从谈起。
说的直白一些,我觉得学高数的目的就是考试,
为了考试而学习,这多么荒谬啊!
那一刻我觉得“学以致用”四个字竟是如此遥远。
但我还是要感谢老师,虽然在他的课上我没有收获什么有用的东西,但毕竟他教给了我考试及格的方法,没有难为我。
帮我一把是情分,不帮也是本分,我又能再去奢求什么呢?
或许老师更明白这门课对于我们这些纯文科生的意义,大家都是在现有规则内行事,既然都无力改变,那就我把栅栏抬高一些,你们把身子放低一些,就过去了,你好我好大家好。
如果这么一想,老师才是大智若愚。
“叮——铃铃!”考试结束,我起身把考卷递给了监考老师,转身走出了教室。
这之后我们又陆续参加了《大学英语》考试,《思修》考试,《管理学原理》考试。几天后,分数出来了:
高数73
英语83
思修87
管理学原理85
公管系一共58人,我排第17,班里边有20人,我是第7名。而学霸在系里和班里的排名,是第4和第2。
离谱的是全靠考前突击复习的阿肥和豪哥,成绩并没有比我差多少,反而豪哥和阿肥的高数还比我高两分,都考了75。
我问阿肥为什么,他憨憨地回答我:“可能我记忆力好一些吧。”
我又去问豪哥。
“都是唐钰教得好。”豪哥的语气颇为自豪。
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