Modal Ω-Logic
摘要：本文探讨了Ω-Zermelo中的逻辑带有选择的Fraenkel集合论（ZFC）。
二者之间的范畴对偶余代数和代数允许ZFC的布尔值代数模型被解释为煤焦。
的模态轮廓Ω-逻辑有效性可以然后在一个代数逻辑中得到支持，以及Ω-逻辑有效性可以通过确定性自动机来定义。
我认为哲学上述内容的意义有两个方面。
首先，因为认识论和的模态轮廓Ω-逻辑有效性与二阶有效性相对应逻辑结果，Ω-逻辑有效性是真正合乎逻辑的。
第二前面提供了对数学解释的模态说明词汇。
1简介
本文考察了结果关系的哲学意义在中定义Ω-集合论语言的逻辑。
我认为，和第二个一样秩序逻辑，有效性的模态轮廓Ω-逻辑使属性在认识上易于处理。
由于余代数和代数之间的对偶性集合论的布尔值模型可以被解释为余代数。
在里面第2节，我演示了Ω-逻辑有效性可以是在一个coargebraic逻辑中，以及如何Ω-逻辑有效性可以进一步通过自动机定义。
最后，在第3节中的模态轮廓的表征Ω-哲学的逻辑有效性数学考试。
我认为Ω-逻辑有效性是真正合乎逻辑的，以及（ii）它提供了对“集合”概念的形式把握的模态描述。
第4节提供结论性意见。
2定义
在这一节中，我定义了Zermelo-Frenkel集合论的选择公理。
我定义了大基数公理的数学性质，它可以与ZFC相邻，我提供了特性的详细表征属于Ω-ZFC的逻辑。
因为余代数是布尔值代数的对偶的型号Ω-逻辑，然后刻画了一类代数逻辑建模模态逻辑和确定性自动机。
模态代数模型的自动机提供了模态的精确表征以及Ω-逻辑有效性。
2.1Axioms1
•Extensionality
∀x，y.(∀z.z∈x⇐⇒z∈y)→x=y
•EmptySe
∃x.∀y.y∈/x
•Pairing
∀x，y.∃z.∀w.w∈z⇐⇒w=x∨w=y
•Union
∀x.∃y.∀z.z∈y⇐⇒∃w.w∈x∧z∈w
•Powerse
∀x.∃y.∀z.z∈y⇐⇒z⊆x
•Separation(with−→xaparameter)
∀−→x，y.∃z.∀w.w∈z⇐⇒w∈y∧A(w，−→x)
•Infinity
∃x.∅∈x∧∀y.y∈x→y∪{y}∈x
•Foundation
∀x.(∃y.y∈x)→∃y∈x.∀z∈x.z∈/y
•Replacemen
∀x，−→y.[∀z∈x.∃!w.A(z，w，−→y)]→∃u.∀w.w∈u⇐⇒∃z∈x.A(z，w，−→y)
•Choice
∀x.∅∈/x→∃f∈(x→∪x).∀y∈x.f(y)∈y
2.2大基数
实数的Borel集是ωω或R，在可数交集下闭合和并集。
2对于所有序数，a，使得0＜a＜ω1，并且b＜a，∑0a表示ω的开子集在π0中集合的可数并集下形成的ωb，和π0一表示ω的闭子集ω在∑的可数交集下形成0b。
实数的投影集是ωω、由互补（ωω–u、对于u⊆ωω）投影[p（u）={⟨x1，…，xn⟩∈ωω|∃y⟨x1，xn，y∈u｝]。
对于所有的序数a，使得0＜a＜ω，π10表示ω的闭子集ω；π1一是通过取ω的开子集的补集而形成的ω、∑1.一；和∑1.a+1是由π1中集合的投影形成一。
全幂集运算定义了集的累积层次结构V，例如V0=∅；Va+1=℘（V0）；和Vλ=a＜λVa。
在内部模型程序中（参见Woodin，200120102011；Kanamori，2012，a，b），可定义的幂集运算定义了可构造的宇宙，L（R），在集合V的宇宙中，其中集合是可传递的，使得a∈C⇐⇒a⊆C；L（R）=Vω+1；La+1（R）=Def（La（R））；且Lλ（R）=a＜λ（La（R））。
通过内部模型，Gödel（1940）证明了广义连续体假说，ℵ一ℵa=ℵa+1，以及选择公理，相对于ZFC的公理。
然而，对于序数的可数传递集MZF的一个模型没有选择，可以定义一个泛型集G，这样，对于所有公式，ξ，或者是，都是由G中的条件f强制的。
设M[G]=a＜κMa[G]，使得M0[G]={G}；其中λ＜κ，Mλ[G]=a＜λMa[G]；和Ma+1[G]=VaåMa[G].3G是M上的Cohen实，它包含一个集强迫集合力的关系，⊩，可以在地上定义模型M，使得强迫条件f是ω转化为{0，1}，并且如果f（u）=1则f⊩u∈G，如果f（u）=0则f⊕u∈/G。
基数开放稠密地面模型的M和一般扩展G是相同的，仅当满足可数链条件（c.c.c.），使得给定一个链-即，偏序（自反、反对称，传递）集&存在一个可数的、最大的反链，由成对的不兼容的强制条件。
通过集强制扩展，Cohen（19631964）构造了ZF模型，该模型否定了广义连续体假设，从而证明了它相对于ZF公理的独立性Gödel（1946/1990：1-2）提出，Orey句子的价值如果有人利用更有力的理论，新的无穷大公理——即大基数公理——是邻接的。
5他写道：“在集合论中，例如，连续扩展可以用更强和更强的无穷大公理。
当然不可能给出一个组合以及关于什么是无穷大公理的可判定的特征；但是可能存在，例如，以下类型的特征：无穷大公理是具有某种（可判定的）形式结构并且在加法是正确的。
这种可证明性的概念可能具有所需的闭包性质，即以下可能为真：集合论的任何证明在集合论之上的下一个更高系统中的定理。
可由证明替换从这样一个无穷大的公理。
对于这样一个概念可证明性——一个完整性定理会成立，它会说集合论中可表达的每一个命题都可由现有公理加判定关于集合宇宙的大性的一些真实断言。
对于基数，x，a，C，C⊆a在a中是无界闭的，如果它是闭的[如果x＜C和则a∈C]和无界（C=a）（Kanamori，同前：360）。
基数S在A中是静止的，如果，对于任何闭无界C⊆A，CÜS̸=∅（同前）。
理想是在可数并集下闭合的集合的子集，而滤波器是在可数交集下闭合的子集（361）。
基数κis正则ifκ的共尾性由具有基数的集合的并集组成小于κ–与κ相同。
不可计数的正则极限基数是弱的不可访问的（同前）。
强不可访问基数是正则的，具有强极限，使得如果λ＜κ，则2λ＜κ（同前）。
大基数公理是由初等嵌入定义的，
因此可以定义嵌入。
对于模型A、B和条件ξ、j:A→B
ξ⟨a1，A中的an当且仅当Γ⟨j（a1），j（an）⟩在B（363）中。
可测量基数被定义为由j的临界点crit（j）（Koellner和Woodin，2010:7）。
可测量基数是不可访问的（Kanamori，同前）。
设κ为基数，η＞κ为序数。
κ则η-强，如果存在传递类M与初等嵌入j:V→M、使得crit（j）=κ、j（κ）＞η和Vη⊆M（Koellner和Woodin，同前）。
κ是强的当且仅当，对于所有η，它是η-强的（同前）。
如果A是一个类，κ是η-A-强，如果存在j:V→M、使得κ是η-强
和j（A≠Vκ。
κ是Woodin基数，如果κ是强不可访问的，并且对于所有a⊆Vκ是基数κa＜κ，使得κa是η-a强的，对于所有η，使得κη，η＜κ
（Koellner和Woodin，同前：8）。
κ是超容，如果j:V→M、使得crit（j）=κ和Vj（κ）⊆M导致κ以下存在任意大的Woodin基数（同前）。
大基数公理可以定义如下。
∃xΦ是一个大型基数公理，因为：
（i）Φx是一个∑2-公式，其中'一个句子是∑2-条件，如果它是
形式：存在一个序数α使得Vα⊩ψ，对于某个句子ψ'（Woodin，2019）；
（ii）如果κ是基数，使得V|=Φ（κ），则κ是强不可访问的；
（iii）对于所有的一般偏序P∈Vκ，VP|=Φ（κ）；INS是非平稳的完美的AG是L（R）中实数的正则表示，即解释M[G]中的A；H（κ）由其传递闭包为＜κ（参见Woodin，2001:569）；和L（R）Pmax|=⟨H（ω2），∈，INS，AG⟩|=“ξ”。
P是L（R）中的齐次偏序，使得L（RP继承了L（R）的一般不变性，即绝对性。
因此，L（R）最大功率是（i）有效完备的，即在集强制扩展下不变；和（ii）极大，即满足所有的π2-条件，因此通过集强制一致
地面模型（Woodin，ms:28）。
假设ZFC，并且存在一个适当的Woodin基数类；A∈P（R）ΓL（R）；Γ是一个π2-项；和V（G），s.t.⟨HZ（ω2），∈，INS，AG⟩|=“ξ”：那么，可以证明L（R）Pmax|=⟨H（ω2），∈，INS，AG⟩|=“ξ”，其中“Γ”：=A∈Γ∞H（ω1），∈，A|=ψ。
确定性公理（AD）指出，每一组实数，一个⊆ωω是决定Woodin（1999）的Axiom（*）可以这样支持：
ADL（R）和L[（Pω，
由此可以导出2ℵ0=ℵ2
因此，CH；因此CH是绝对可以决定。
在最近的工作中，Woodin（2019）提供了证据，证明CH可能对比，是真的。
CH的真相将从Woodin的真相中走出来
终极L猜想。
以下定义来自Woodin（同前）：
'传递类是一个内部模型，如果[，对于序数Ord的类，-HK]
Ord⊂M和M⊩ZFC’。
L、可构造实和HOD，可遗传有序可定义集合是内部模型假设N是一个内部模型[a]是V的不可数（正则）基数。
N具有[a]-覆盖性质，如果所有的σ⊂N，如果|σ|＜[a]，则存在τ∈N使得：σ⊆τ和|τ|＜[a]。
N具有[a]-近似性质，如果对于所有集合X⊂N
等价：（i）X∈N和（ii）对于所有σ∈N，如果|σ|＜[a]，则σ∈X∈N。
假设N是一个内部模型，并且σ⊂N。
那么N[σ]表示最小的内部模型，
使得N⊆M和σ∈M。
假设N是一个内部模型，[a]是强烈不可访问。
则N具有[a]-泛型性质，如果对于所有σ⊆[a]，
如果|σ|＜[a]，则N[σ]≠Va是N∈Va的Cohen扩张=Ultimate-L则表示'（i）存在一类适当的Woodin基数，和（ii）对于每一个∑2-项ξ，如果Γ在V中成立，则存在普遍的Baire
集合A⊆R使得HODL（A，R）⊩拓扑空间Ω并且对于所有连续函数π：Ω→R
n、原像
π对A在空间中具有Baire性质Ω’.Baire的财产
如果，对于拓扑空间a⊆X的子集，存在这样的开集U\\8838X
其中，U是一个极小子集，其中，是对称差，即相对补的并集，并且拓扑空间的子集是贫乏的，如果它是无处稠密集的可数并集，其中的无处稠密子集如果它们与开集的并集不是稠密的，则拓扑成立。
终极-L猜想如下：“假设[a]是一个可扩展基数。
[a]是一个可扩展基数如果对于每个λ＞[a]存在一个初等嵌入j:Vλ+1→Vj（λ）+1使得CRT（j）=[a]并且j（[a]）＞λ。
然后可以证明是内部模型N，使得：1。
N具有[a]-覆盖和[a]-近似属性。
2.N具有[a]-泛型性质。
3.N⊩'V=最终-L“（Woodin，同前）。
2.3Ω-思维方式
对于偏序，P，设VP=VB，其中B是（P）.8Ma=（Va）M和MBa=（VB一)M=（VMB一)。
Sent表示一组句子在集合论的一阶语言中。Tõ｛ξ｝是一组扩展的句子ZFC。
c.t.m缩写了可数传递性∈-模型的概念。c.B.a。
缩写了完全布尔代数的概念。
在V中定义c.B.a.，这样VB.让VB0=∅；VBλ=b＜λVBb，其中λa极限序数；VBa+1＝｛f:X→B|X⊆VBa}；和VB=a∈OnVB一。
ξ在VB中为真，如果其布尔值为1B，当且仅当VB|=B=1B。
因此，对于所有序数，a和每个c.B.a.B，VBa≠（Va）
五、B所有x∈VB的iff，y∈VBx=yB=1Biffx∈VBB=1B。
然后，VBa|=ΓiffVB|=“Va|=ξ”。
Ω-则逻辑有效性可以定义如下：
对于TŞ｛ξ｝⊆Sent，
T|=Ω如果对于所有序数，a和c.B.a.B，如果VB一|=T，然后VB一|=ξ。
假设存在一类适当的Woodin基数，并且如果TŞ｛ξ｝⊆Sent，则对于所有设置的强制条件，P:
T|=ΩΓiffVT|='T|=Ωξ’，
其中T|=ΩΓlect∅|='T|=Ωξ’。
这个Ω-猜想指出V|=ΩξiffVB|=Ωξ（Woodin，ms）。
因此Ω-逻辑有效性在中的地面模型的所有集强制扩展中是不变的
集合论宇宙。
Ω-逻辑是由普遍的拜尔实数集定义的。
对于一个基数，e，设集合a是e-泛Baire，如果对于所有偏序P基数e，ωXλ上存在树S和T，使得A=p[T]并且如果G⊆P是泛型的，则P[T]G=RG–p[S]G（Koellner，2013）。
A是普遍的Baire，如果它是e-universallyBaireforalle（同前）。
Ω-逻辑是健全的，因此V⊢Ω⏴→V|=Ω。
然而，完整性属于Ω-逻辑尚未解决。
最后，在范畴理论中，范畴C由为每对对象C（a，B）对象一组箭头（Venema，2007:421）。
范畴C到范畴D的函子，E:C→D、是操作映射对象和C的箭头到对象和D的箭头（422）。
上的一个内函子C是函子，E:C→C（同前）。
E-余代数是一对A=（A，µ），其中A是C的对象，称为A的载体，和µ:A→E（A）是C中的箭头，称为过渡
A的地图（390）。
A=⟨A，µ：A→E（A）⟩是函子上代数范畴的对偶µ（417-418）。
如果µ是集合范畴上的函子，则余代数模型是对偶到布尔代数模型Ω-逻辑有效性。
上述内容的意义在于，代数模型本身可能以便定义模态逻辑和自动机。
Coalgebras提供。
因此，集合论的布尔值模型的配置文件Ω-逻辑有效性，并且自动机可以相互定义。
在下文中，A将包括余代数模型——对偶到完全布尔值定义在Ω-ZFC的逻辑——其中模态相似类型和自动机是可定义的。
作为模态逻辑的一个代数模型，a可以定义为如下（407）：
对于一组公式，Φ，设ŞΦ：=□Φ∧Φ，其中Φ表示设{⋄ξ|Γ∈Φ（同前）。
然后，⋄ξlectŞ{Γ，T}，
□ΓlectŞ∅∧⏴Γ（同前）
ŞΦ＝{w∈w|R[w]⊆{Γ|Γ∈Φ}和∀ξ∈¦Β，ΓξR[w]̸=∅}
（方丹，2010:17）。
设一个E-余代数模态模型，A=⟨S，λ，R[.]⟩，其中λ（S）是命题字母的选择在s中的s为真，并且R[s]是s的后继集
在S'中，使得S，S⊩ŞΦ当且仅当，对于S∈S的所有（一些）后继σ，[Φ，σ（s）∈E（⊩A）]（Venema，2007:399407），其中E（⊕A）是满足关系⊩A⊆SxΦ。
设函子K为关系K⊆K（A）xK（A'）（Venema，2012:17））。
设Z为二元关系s.t.Z⊆AxA'和℘Z⊆℘（A）x℘（A'），带有℘Z:＝{（X，X'）|∀X∈X∃X'∈X'与（X，X'）∈Z∧（同前）。
然后，我们可以定义关系提升，K！，如下所示：
K:={[（π，X），（π'，X'）]|π=π'和（X，X'℘Z}（Venema，2012:17）。
因此可以定义确定性自动机的代数模型（Venema，2007:391）。
自动机是一个元组，a=⟨a，aI，C，⇒，F⟩，使得A是自动机A的状态空间；aI∈A是自动机的初始状态；C是自动机字母表的编码，将数字映射到自然数；⇒:AXC→A是一个转换函数，F⊆A是容许状态的集合，其中F将A映射到{1，0}，使得F:A→1如果a∈F和a→如果a∈/F为0（同前）。
代数自动机的确定性其范畴与满足Ω-逻辑结果，是由Woodin基数的存在所保证的：假设ZFC，则λ是Woodin基数的极限，即存在一个通用的集强制扩展G⊆ω＜λ的坍缩，并且R*=｛RG[a]|a＜λ}，则R*|=确定性（AD）（Koellner和Woodin，同前：10）。
模态自动机是在模态一步语言上定义的（Venema，2020：7.2）.当A是命题变量的集合时，格的集合Latt（X）
X上的项具有以下语法：
π：：=Ş|⊤|x|π∧，其中x∈x和π∈Latt（A）（同前）。
模态一步公式在A上的集合1ML（A）具有以下g马尔：
α∈A:：=Ş|⊤|⋄π|□π|α∧α|α⁄α（同前）。
模态P自动机A是三元组（A，θ，aI），其中A是非空有限一组状态，aI∈A，一个初始状态，和过渡映射θ：Ax℘P→1ML（A）将状态映射到模态一步公式，具有℘P命题字母，P（同前：7.3）。
最后，A=⟨A，α：A→E（A）⟩是代数范畴的对偶函子α（417-418）。
对于范畴C、对象a和内函子E，定义新箭头，α，s.t.α：EA→A.可以进一步定义同态f在代数⟨A，α⟩和\\10216\\B，β\\10217之间。
那么，对于代数的范畴可以定义以下交换平方：（i）EA→EB（Ef）；（ii）EA→A
（α）；（iii）EB→B（β）；和（iv）A→B（f）（参见Hughes，2001:7-8）。
还是一样余代数范畴的交换平方成立，使得后者通过反转（ii）[A中态射的方向来定义→EA（α）]和（iii）[B→EB（β）]（同前）。
因此，A是模态、确定性自动机、对偶的代数范畴到的完全布尔值代数模型Ω-定义的逻辑有效性。
在集合的范畴中
Leach-Krouse（ms）定义了Ω-结果令人满意
以下公理：
对于一个理论T和□ξ：=TBα⊩ZFC⇒TBα，
ZFC⇒ZFC⊢□⏴
ZFC⊢□（→ψ）→(□⏴→□ψ）
ZFC⊢□→ZFC
ZFC⊢□→□□⏴
ZFC⊢□(□⏴→ξ）→□⏴
□(□⏴→ψ）∧□(□ψ∧ψ→Γ），其中添加到GL的该条款是逻辑
在ZFC中“所有Vκ为真，所有κ强不可访问”。
3讨论
本节探讨了莫代尔-哥尔布雷克的哲学意义tomata和它们所对应的集合论语言的布尔值模型是双重的。
我认为，类似于二阶逻辑结果，（I）的“数学纠缠”Ω-逻辑有效性不会破坏其sta作为纯粹逻辑关系的tus；以及（ii）模态剖面和模型的理论表征Ω-逻辑后果为其情节提供了指导因此，我认为有几个考虑因素赞成集合概念的解释是构成性的涉及模态概念。
语气词范畴的作用istic自动机在（i）表征Ω-逻辑结果，以及（ii）构成了该概念的形式理解条件集合的概念，为累积的现实主义概念提供了支持等级制度。
3.1Ω-逻辑有效性是真正合乎逻辑的
Frege（1884/1980；1893/2013）的建议——基数可以是通过指定的同一性和等价性之间的双条件来说明概念上的关系，可以用二阶逻辑的特征来表达——是第一次尝试在逻辑的基础上为数学提供基础公理而非理性或经验直觉。
在弗雷格（1884/1980。引用：68）和Wright（1983:104-105），概念A的数量被认为是与概念的数量B相同，当且仅当存在一对一A和B之间的对应关系，即存在来自A的双射映射R对于Nx：一个数值项形成算子，•A→∃y（通过∧Rxy∧∀z（Bz∧Rxz→y=z）]∧∀y[By→∃x（Ax∧Rxy∧∀z（Az∧→x＝z））]]]。
Frege定理指出
算术可以从前面的抽象原理推导出来，作为扩充到二阶逻辑和恒等式的签名。
11因此，如果二阶逻辑可以算作纯逻辑，尽管二阶模型的域可以通过幂集运算来定义，那么哲学的一个方面抽象主义程序的意义在于它提供了一个基础，关于以非增广的纯逻辑为基础的经典数学抽象原理所表达的逻辑隐含定义。
ZFC中定义的逻辑可能至少有三个原因不破坏其后果关系的逻辑地位。
第一个数学纠缠的原因Ω-逻辑有效性可能是无伤大雅的是，正如夏皮罗（1991:5.1.4）所指出的，许多数学性质不能在一阶逻辑中定义，而是需要表达式二阶逻辑资源。
例如，良好基础的概念不能在一阶框架中表达，如对紧凑性。
设E为二元关系。
如果不存在无限序列，a0，ai，使得Ea0，Eai+1都是真的。
如果m是有充分基础的，那么就不存在无限个下降的E链。
认为T是包含m的一阶理论，对于所有自然数，n，存在具有n+1个元素a0…的T，an，使得a0，a1an，an−1⟩是E的扩张。
通过紧致性，存在一个无限序列，这样那a0。
ai，s.t.Ea0，Eai+1都是真的。
因此，m没有充分的依据。
然而，相比之下，良好的基础可以用二阶表达式来表示
框架：
X→∃x[Xx∧∀y（Xy→Eyx）]]，使得m是有充分根据的iff
每个非空子集X都有一个元素X，s.t。
X中没有任何元素与E到X有关。
有根据的哲学意义的一个方面是
当成员关系在给定的模型中使用。
这与Putnam（1980）的权利要求形成对比，一阶模型mod是可以预期的，如果mod中的每个实数集s都是这样的
mod中的ω-模型包含s并且是可构造的，使得-给定DownwardLowenheim-Skolem理论12——如果mod是不可构造的，但具有满足“s”的子模型是可构造的，则该模型是不成立的。
而且必须是有意的。
索赔取决于以下假设：
理解意图的条件和条件必须是共同广泛的，我将在第4.2节中返回
第二个原因Ω-逻辑的数学纠缠可能不是错误的，使得Ω-逻辑可能是真正合乎逻辑的，可以通过与二阶的比较再次得到赞赏。
思维方式Shapiro（1998）定义了逻辑的模型理论表征
结果如下：
（10）Φ是[模型]Γ的逻辑结果，如果Φ在所有可能性中都成立在Γ’（148）中的非逻辑术语的每一种解释下。
上述条件称为“同构性质”，
根据“如果两个模型M，M”相对于非逻辑的同构，则M满足Φ当且仅当M'满足Φ'（151）。
夏皮罗认为，结果关系指定使用第二秩序资源是合乎逻辑的，因为它具有模态和认知特征。
这个二阶有效性的认知可处理性在于“典型健全性”orems，其中表明给定的演绎系统是保真的’（154）。
他写道：“如果我们知道一个模型是一个很好的数学模型逻辑结果（10），那么我们就知道使用声音不会出错
演绎系统。
此外，我们可以知道，争论是一个合乎逻辑的结果…通过元理论中的集合论证明”（154-155）。
二阶有效性的模态轮廓提供了第二种交流方式计算财产在认识上的易处理性。
例如，夏皮罗认为：“如果同构性质成立，则在评价句子和论点时，我们唯一需要“改变”的“可能性”就是宇宙的大小。
如果尺寸足够在模型的宇宙中表示，那么逻辑con的模态性质序列将被注册。
[T]我们唯一保留的“模态”是“可能的大小”，
其被归入集合论元理论’（152）。
夏皮罗关于支持逻辑的考虑因素的评论非有效二阶有效性的cality推广到Ω-逻辑有效性。
在里面上一节Ω-逻辑有效性由代数模态逻辑范畴A与完备范畴的对偶性的布尔值代数模型Ω-思维方式正如夏皮罗对原木的定义ical结果，其中Φ在模型宇宙中的所有可能性中成立。
可能性涉及集合论元理论中的“可能大小”，这个Ω-猜想指出V|=ΩξiffVB|=Ωξ，使得Ω-逻辑有效性在集合论中地面模型的所有集强迫扩展中是不变的宇宙。
最后Ω-逻辑有效性是安全的，两者都一样夏皮罗对二阶逻辑后果的描述——通过其合理性，但也由于它是确定性自动机的coargebraic范畴的对偶，其中Woodin的存在再次保证了其确定性大基数。
3.2意图与集合的概念
最后，在本节中，我认为Ω-可以利用逻辑以说明集合概念的理解条件。
Putnam（同前：473-474）认为，定义一阶理论的模型足以理解和说明预期的解释后者。
相比之下，Wright（1985:124-125）认为数学概念的条件不能被其理论，甚至基于对这些理论的预期解释。
他例如，建议：
“如果真的有不可计数的集合，那么它们的存在肯定是必须的流从集合的概念，直观地令人满意地解释。
这里，那里在我看来，没有任何假设ZF公理的内容不能超过在所有经典模型下不变的。[Banacerraf]写道，
例如：“他们有自己的‘预期解释’：‘∈’是指集合成员身份。即便如此，并被认为是对直觉的编码在集合的概念中，它们不包含不可数集合的存在性。
那么怎么能确实存在这样的集合？Benacerraf的回答是ZF公理是除了确保
“∈”表示集合成员关系，我们对它们进行解释以观察约束“通用量词必须表示所有或至少所有集合”（第103页）。
当然，如果集合的概念确实决定了背景，坎托定理在其预期的解释下是健全的，集合的概念可以用“∈”的意图意义和ZF公理成立的规定。
残留物大概包含在非正式的解释中，贝纳瑟拉夫提醒我们，泽梅洛有意用他的形式化回答。
至少'假设对角化引理成立，使得F⊢Q⇐⇒A（Q）。
对于第一个不完全性定理，应用对角化引理对可证明性谓词-ProvF（x）的否定，产生如下低沉的句子：
'（Z）F⊢MF⇐⇒ProvF（MF）。
“假设MF是可证明的。
通过可证明性的弱可表示性在ProvF（x）的in-F中，F也将证明ProvF（MF）。
因为F证明了Z——即。
F⊢MF⇐⇒ProvF（MF）–F将证明-MF。
所以F是不一致的因此，如果F是一致的，那么MF在F中是不可证明的。
'假设F是ω-一致的。
那么，假设F⊢-MF。然后F不能证明MF，因为它将是ω-不一致的。
因此数n是MF的一个证明的哥德尔数。
因为证明关系是强可表示的，对于所有n，F⊢-PrfF（n，MF）。
如果F⊢xPerfF（x，MF），F是不ω-一致的。
因此，F不证明∃xPerfF（x，MF），即F不能证明ProvF（MF）。
根据（Z）中记录的等价性，F不能证明-MF。
对于第二个不完全性定理：假设一致性Con（F），定义为？ProvF（Ş），其中Ş表示一个不一致的公式，如0=1。
形式化F中第一不完全性定理的证明得到F⊢缺点（F）→MF。
如果Cons（F）在F中是可证明的，那么MF也是。假设F⊢MF⇐⇒缺点（F）。
因此，考虑到第一个不完全性，Cons（F）是不可证明的定理。
在上文中，编码的选择桥接了语言中的数字具有目标数字的属性。
因此，编码的选择内涵，并已被整理，以论证这一概念。
句法可计算性&通过部分递归函数的等价类离散状态自动机的项、λ可定义项和转移函数，如图灵机——是组成语义的（参见Rescorla，2015）。
毛皮在自我现象中可以看到内涵的其他点Reinhardt（1986）介绍了算术中的参考文献。
莱因哈特（op。引用：470-472）认为可证明性谓词可以相对于特定特工的头脑——类似于奎因（1968）和刘易斯（1979）建议通过相对于pa定义可能的世界来集中它们范围在时空坐标元组或代理和位置上的参数——并且可以为上述思想和可计算系统的概念。
第二点，在这一点上，可以证明理解条件是一致的认识权的条件可以见证制度模态假设哥德尔的第二不完全性orem被证明是一致的（参见Dummett，1963/1978；Wright，1985）。
Wright（同前：91，fn。9）建议“将证明视为建立一致性”是含蓄地排除任何疑问。关于一阶num的一致性ber理论。
赖特对认识权利概念的阐述。
他认为，理性“信任”的概念是通过计算决策理论背景下的“预期认知效用”（2004；2014:226，241）。
Wright指出，服从于认知权利的理性信任将要务实，并提出一个有趣的观点，即“务实的原因不是一种特殊的理性类型，与例如认知的、谨慎的和道德原因”（2012:484）。
然而，至关重要的是，预期事件的想法决策理论背景下的temic效用对概念产生了隐含的吸引力。
在可能的世界中，后者可以再次由代数决定模态自动机的逻辑。
第三个考虑援引有利于把握事实的思想集合的概念可能构成性地具有模态轮廓，即概念可以是定义为一种内涵，即从可能的世界到延伸的功能。
这个然后可以将coargebraic模态逻辑中的模态相似类型解释为动态解释模态，其中有人认为，运营商可能会对该理论的量词的领域（参见Fine，20052006），以及诸如隶属关系之类的非逻辑概念的张力（参见Uzquiano，2015）。
16第四个考虑直接利用了Ω-必然的结果虽然上述动态解释模式就足够了对于数学术语的可能的重新解释后果关系是这样的，如果Ω-那么猜想是真的Ω-必然的。
有效性在地面模型的所有可能集强制扩展中都是不变的集合论宇宙。
真相Ω-由此推测正式理解内涵的不可撤销的必要条件集合的概念。
4结束语
在这篇文章中，我考察了二元性的哲学意义自动机与布尔值代数模的模态间余代数模型模态的elsΩ-思维方式我认为——就像第二种有效性的性质一样订单逻辑-Ω-逻辑有效性是真正合乎逻辑的。
然后，我争辩说煤代数确定性自动机，其特征是Ω-逻辑结果，是数学解释的组成部分成员关系等概念。
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二者之间的范畴对偶余代数和代数允许ZFC的布尔值代数模型被解释为煤焦。
的模态轮廓Ω-逻辑有效性可以然后在一个代数逻辑中得到支持，以及Ω-逻辑有效性可以通过确定性自动机来定义。
我认为哲学上述内容的意义有两个方面。
首先，因为认识论和的模态轮廓Ω-逻辑有效性与二阶有效性相对应逻辑结果，Ω-逻辑有效性是真正合乎逻辑的。
第二前面提供了对数学解释的模态说明词汇。
1简介
本文考察了结果关系的哲学意义在中定义Ω-集合论语言的逻辑。
我认为，和第二个一样秩序逻辑，有效性的模态轮廓Ω-逻辑使属性在认识上易于处理。
由于余代数和代数之间的对偶性集合论的布尔值模型可以被解释为余代数。
在里面第2节，我演示了Ω-逻辑有效性可以是在一个coargebraic逻辑中，以及如何Ω-逻辑有效性可以进一步通过自动机定义。
最后，在第3节中的模态轮廓的表征Ω-哲学的逻辑有效性数学考试。
我认为Ω-逻辑有效性是真正合乎逻辑的，以及（ii）它提供了对“集合”概念的形式把握的模态描述。
第4节提供结论性意见。
2定义
在这一节中，我定义了Zermelo-Frenkel集合论的选择公理。
我定义了大基数公理的数学性质，它可以与ZFC相邻，我提供了特性的详细表征属于Ω-ZFC的逻辑。
因为余代数是布尔值代数的对偶的型号Ω-逻辑，然后刻画了一类代数逻辑建模模态逻辑和确定性自动机。
模态代数模型的自动机提供了模态的精确表征以及Ω-逻辑有效性。
2.1Axioms1
•Extensionality
∀x，y.(∀z.z∈x⇐⇒z∈y)→x=y
•EmptySe
∃x.∀y.y∈/x
•Pairing
∀x，y.∃z.∀w.w∈z⇐⇒w=x∨w=y
•Union
∀x.∃y.∀z.z∈y⇐⇒∃w.w∈x∧z∈w
•Powerse
∀x.∃y.∀z.z∈y⇐⇒z⊆x
•Separation(with−→xaparameter)
∀−→x，y.∃z.∀w.w∈z⇐⇒w∈y∧A(w，−→x)
•Infinity
∃x.∅∈x∧∀y.y∈x→y∪{y}∈x
•Foundation
∀x.(∃y.y∈x)→∃y∈x.∀z∈x.z∈/y
•Replacemen
∀x，−→y.[∀z∈x.∃!w.A(z，w，−→y)]→∃u.∀w.w∈u⇐⇒∃z∈x.A(z，w，−→y)
•Choice
∀x.∅∈/x→∃f∈(x→∪x).∀y∈x.f(y)∈y
2.2大基数
实数的Borel集是ωω或R，在可数交集下闭合和并集。
2对于所有序数，a，使得0＜a＜ω1，并且b＜a，∑0a表示ω的开子集在π0中集合的可数并集下形成的ωb，和π0一表示ω的闭子集ω在∑的可数交集下形成0b。
实数的投影集是ωω、由互补（ωω–u、对于u⊆ωω）投影[p（u）={⟨x1，…，xn⟩∈ωω|∃y⟨x1，xn，y∈u｝]。
对于所有的序数a，使得0＜a＜ω，π10表示ω的闭子集ω；π1一是通过取ω的开子集的补集而形成的ω、∑1.一；和∑1.a+1是由π1中集合的投影形成一。
全幂集运算定义了集的累积层次结构V，例如V0=∅；Va+1=℘（V0）；和Vλ=a＜λVa。
在内部模型程序中（参见Woodin，200120102011；Kanamori，2012，a，b），可定义的幂集运算定义了可构造的宇宙，L（R），在集合V的宇宙中，其中集合是可传递的，使得a∈C⇐⇒a⊆C；L（R）=Vω+1；La+1（R）=Def（La（R））；且Lλ（R）=a＜λ（La（R））。
通过内部模型，Gödel（1940）证明了广义连续体假说，ℵ一ℵa=ℵa+1，以及选择公理，相对于ZFC的公理。
然而，对于序数的可数传递集MZF的一个模型没有选择，可以定义一个泛型集G，这样，对于所有公式，ξ，或者是，都是由G中的条件f强制的。
设M[G]=a＜κMa[G]，使得M0[G]={G}；其中λ＜κ，Mλ[G]=a＜λMa[G]；和Ma+1[G]=VaåMa[G].3G是M上的Cohen实，它包含一个集强迫集合力的关系，⊩，可以在地上定义模型M，使得强迫条件f是ω转化为{0，1}，并且如果f（u）=1则f⊩u∈G，如果f（u）=0则f⊕u∈/G。
基数开放稠密地面模型的M和一般扩展G是相同的，仅当满足可数链条件（c.c.c.），使得给定一个链-即，偏序（自反、反对称，传递）集&存在一个可数的、最大的反链，由成对的不兼容的强制条件。
通过集强制扩展，Cohen（19631964）构造了ZF模型，该模型否定了广义连续体假设，从而证明了它相对于ZF公理的独立性Gödel（1946/1990：1-2）提出，Orey句子的价值如果有人利用更有力的理论，新的无穷大公理——即大基数公理——是邻接的。
5他写道：“在集合论中，例如，连续扩展可以用更强和更强的无穷大公理。
当然不可能给出一个组合以及关于什么是无穷大公理的可判定的特征；但是可能存在，例如，以下类型的特征：无穷大公理是具有某种（可判定的）形式结构并且在加法是正确的。
这种可证明性的概念可能具有所需的闭包性质，即以下可能为真：集合论的任何证明在集合论之上的下一个更高系统中的定理。
可由证明替换从这样一个无穷大的公理。
对于这样一个概念可证明性——一个完整性定理会成立，它会说集合论中可表达的每一个命题都可由现有公理加判定关于集合宇宙的大性的一些真实断言。
对于基数，x，a，C，C⊆a在a中是无界闭的，如果它是闭的[如果x＜C和则a∈C]和无界（C=a）（Kanamori，同前：360）。
基数S在A中是静止的，如果，对于任何闭无界C⊆A，CÜS̸=∅（同前）。
理想是在可数并集下闭合的集合的子集，而滤波器是在可数交集下闭合的子集（361）。
基数κis正则ifκ的共尾性由具有基数的集合的并集组成小于κ–与κ相同。
不可计数的正则极限基数是弱的不可访问的（同前）。
强不可访问基数是正则的，具有强极限，使得如果λ＜κ，则2λ＜κ（同前）。
大基数公理是由初等嵌入定义的，
因此可以定义嵌入。
对于模型A、B和条件ξ、j:A→B
ξ⟨a1，A中的an当且仅当Γ⟨j（a1），j（an）⟩在B（363）中。
可测量基数被定义为由j的临界点crit（j）（Koellner和Woodin，2010:7）。
可测量基数是不可访问的（Kanamori，同前）。
设κ为基数，η＞κ为序数。
κ则η-强，如果存在传递类M与初等嵌入j:V→M、使得crit（j）=κ、j（κ）＞η和Vη⊆M（Koellner和Woodin，同前）。
κ是强的当且仅当，对于所有η，它是η-强的（同前）。
如果A是一个类，κ是η-A-强，如果存在j:V→M、使得κ是η-强
和j（A≠Vκ。
κ是Woodin基数，如果κ是强不可访问的，并且对于所有a⊆Vκ是基数κa＜κ，使得κa是η-a强的，对于所有η，使得κη，η＜κ
（Koellner和Woodin，同前：8）。
κ是超容，如果j:V→M、使得crit（j）=κ和Vj（κ）⊆M导致κ以下存在任意大的Woodin基数（同前）。
大基数公理可以定义如下。
∃xΦ是一个大型基数公理，因为：
（i）Φx是一个∑2-公式，其中'一个句子是∑2-条件，如果它是
形式：存在一个序数α使得Vα⊩ψ，对于某个句子ψ'（Woodin，2019）；
（ii）如果κ是基数，使得V|=Φ（κ），则κ是强不可访问的；
（iii）对于所有的一般偏序P∈Vκ，VP|=Φ（κ）；INS是非平稳的完美的AG是L（R）中实数的正则表示，即解释M[G]中的A；H（κ）由其传递闭包为＜κ（参见Woodin，2001:569）；和L（R）Pmax|=⟨H（ω2），∈，INS，AG⟩|=“ξ”。
P是L（R）中的齐次偏序，使得L（RP继承了L（R）的一般不变性，即绝对性。
因此，L（R）最大功率是（i）有效完备的，即在集强制扩展下不变；和（ii）极大，即满足所有的π2-条件，因此通过集强制一致
地面模型（Woodin，ms:28）。
假设ZFC，并且存在一个适当的Woodin基数类；A∈P（R）ΓL（R）；Γ是一个π2-项；和V（G），s.t.⟨HZ（ω2），∈，INS，AG⟩|=“ξ”：那么，可以证明L（R）Pmax|=⟨H（ω2），∈，INS，AG⟩|=“ξ”，其中“Γ”：=A∈Γ∞H（ω1），∈，A|=ψ。
确定性公理（AD）指出，每一组实数，一个⊆ωω是决定Woodin（1999）的Axiom（*）可以这样支持：
ADL（R）和L[（Pω，
由此可以导出2ℵ0=ℵ2
因此，CH；因此CH是绝对可以决定。
在最近的工作中，Woodin（2019）提供了证据，证明CH可能对比，是真的。
CH的真相将从Woodin的真相中走出来
终极L猜想。
以下定义来自Woodin（同前）：
'传递类是一个内部模型，如果[，对于序数Ord的类，-HK]
Ord⊂M和M⊩ZFC’。
L、可构造实和HOD，可遗传有序可定义集合是内部模型假设N是一个内部模型[a]是V的不可数（正则）基数。
N具有[a]-覆盖性质，如果所有的σ⊂N，如果|σ|＜[a]，则存在τ∈N使得：σ⊆τ和|τ|＜[a]。
N具有[a]-近似性质，如果对于所有集合X⊂N
等价：（i）X∈N和（ii）对于所有σ∈N，如果|σ|＜[a]，则σ∈X∈N。
假设N是一个内部模型，并且σ⊂N。
那么N[σ]表示最小的内部模型，
使得N⊆M和σ∈M。
假设N是一个内部模型，[a]是强烈不可访问。
则N具有[a]-泛型性质，如果对于所有σ⊆[a]，
如果|σ|＜[a]，则N[σ]≠Va是N∈Va的Cohen扩张=Ultimate-L则表示'（i）存在一类适当的Woodin基数，和（ii）对于每一个∑2-项ξ，如果Γ在V中成立，则存在普遍的Baire
集合A⊆R使得HODL（A，R）⊩拓扑空间Ω并且对于所有连续函数π：Ω→R
n、原像
π对A在空间中具有Baire性质Ω’.Baire的财产
如果，对于拓扑空间a⊆X的子集，存在这样的开集U\\8838X
其中，U是一个极小子集，其中，是对称差，即相对补的并集，并且拓扑空间的子集是贫乏的，如果它是无处稠密集的可数并集，其中的无处稠密子集如果它们与开集的并集不是稠密的，则拓扑成立。
终极-L猜想如下：“假设[a]是一个可扩展基数。
[a]是一个可扩展基数如果对于每个λ＞[a]存在一个初等嵌入j:Vλ+1→Vj（λ）+1使得CRT（j）=[a]并且j（[a]）＞λ。
然后可以证明是内部模型N，使得：1。
N具有[a]-覆盖和[a]-近似属性。
2.N具有[a]-泛型性质。
3.N⊩'V=最终-L“（Woodin，同前）。
2.3Ω-思维方式
对于偏序，P，设VP=VB，其中B是（P）.8Ma=（Va）M和MBa=（VB一)M=（VMB一)。
Sent表示一组句子在集合论的一阶语言中。Tõ｛ξ｝是一组扩展的句子ZFC。
c.t.m缩写了可数传递性∈-模型的概念。c.B.a。
缩写了完全布尔代数的概念。
在V中定义c.B.a.，这样VB.让VB0=∅；VBλ=b＜λVBb，其中λa极限序数；VBa+1＝｛f:X→B|X⊆VBa}；和VB=a∈OnVB一。
ξ在VB中为真，如果其布尔值为1B，当且仅当VB|=B=1B。
因此，对于所有序数，a和每个c.B.a.B，VBa≠（Va）
五、B所有x∈VB的iff，y∈VBx=yB=1Biffx∈VBB=1B。
然后，VBa|=ΓiffVB|=“Va|=ξ”。
Ω-则逻辑有效性可以定义如下：
对于TŞ｛ξ｝⊆Sent，
T|=Ω如果对于所有序数，a和c.B.a.B，如果VB一|=T，然后VB一|=ξ。
假设存在一类适当的Woodin基数，并且如果TŞ｛ξ｝⊆Sent，则对于所有设置的强制条件，P:
T|=ΩΓiffVT|='T|=Ωξ’，
其中T|=ΩΓlect∅|='T|=Ωξ’。
这个Ω-猜想指出V|=ΩξiffVB|=Ωξ（Woodin，ms）。
因此Ω-逻辑有效性在中的地面模型的所有集强制扩展中是不变的
集合论宇宙。
Ω-逻辑是由普遍的拜尔实数集定义的。
对于一个基数，e，设集合a是e-泛Baire，如果对于所有偏序P基数e，ωXλ上存在树S和T，使得A=p[T]并且如果G⊆P是泛型的，则P[T]G=RG–p[S]G（Koellner，2013）。
A是普遍的Baire，如果它是e-universallyBaireforalle（同前）。
Ω-逻辑是健全的，因此V⊢Ω⏴→V|=Ω。
然而，完整性属于Ω-逻辑尚未解决。
最后，在范畴理论中，范畴C由为每对对象C（a，B）对象一组箭头（Venema，2007:421）。
范畴C到范畴D的函子，E:C→D、是操作映射对象和C的箭头到对象和D的箭头（422）。
上的一个内函子C是函子，E:C→C（同前）。
E-余代数是一对A=（A，µ），其中A是C的对象，称为A的载体，和µ:A→E（A）是C中的箭头，称为过渡
A的地图（390）。
A=⟨A，µ：A→E（A）⟩是函子上代数范畴的对偶µ（417-418）。
如果µ是集合范畴上的函子，则余代数模型是对偶到布尔代数模型Ω-逻辑有效性。
上述内容的意义在于，代数模型本身可能以便定义模态逻辑和自动机。
Coalgebras提供。
因此，集合论的布尔值模型的配置文件Ω-逻辑有效性，并且自动机可以相互定义。
在下文中，A将包括余代数模型——对偶到完全布尔值定义在Ω-ZFC的逻辑——其中模态相似类型和自动机是可定义的。
作为模态逻辑的一个代数模型，a可以定义为如下（407）：
对于一组公式，Φ，设ŞΦ：=□Φ∧Φ，其中Φ表示设{⋄ξ|Γ∈Φ（同前）。
然后，⋄ξlectŞ{Γ，T}，
□ΓlectŞ∅∧⏴Γ（同前）
ŞΦ＝{w∈w|R[w]⊆{Γ|Γ∈Φ}和∀ξ∈¦Β，ΓξR[w]̸=∅}
（方丹，2010:17）。
设一个E-余代数模态模型，A=⟨S，λ，R[.]⟩，其中λ（S）是命题字母的选择在s中的s为真，并且R[s]是s的后继集
在S'中，使得S，S⊩ŞΦ当且仅当，对于S∈S的所有（一些）后继σ，[Φ，σ（s）∈E（⊩A）]（Venema，2007:399407），其中E（⊕A）是满足关系⊩A⊆SxΦ。
设函子K为关系K⊆K（A）xK（A'）（Venema，2012:17））。
设Z为二元关系s.t.Z⊆AxA'和℘Z⊆℘（A）x℘（A'），带有℘Z:＝{（X，X'）|∀X∈X∃X'∈X'与（X，X'）∈Z∧（同前）。
然后，我们可以定义关系提升，K！，如下所示：
K:={[（π，X），（π'，X'）]|π=π'和（X，X'℘Z}（Venema，2012:17）。
因此可以定义确定性自动机的代数模型（Venema，2007:391）。
自动机是一个元组，a=⟨a，aI，C，⇒，F⟩，使得A是自动机A的状态空间；aI∈A是自动机的初始状态；C是自动机字母表的编码，将数字映射到自然数；⇒:AXC→A是一个转换函数，F⊆A是容许状态的集合，其中F将A映射到{1，0}，使得F:A→1如果a∈F和a→如果a∈/F为0（同前）。
代数自动机的确定性其范畴与满足Ω-逻辑结果，是由Woodin基数的存在所保证的：假设ZFC，则λ是Woodin基数的极限，即存在一个通用的集强制扩展G⊆ω＜λ的坍缩，并且R*=｛RG[a]|a＜λ}，则R*|=确定性（AD）（Koellner和Woodin，同前：10）。
模态自动机是在模态一步语言上定义的（Venema，2020：7.2）.当A是命题变量的集合时，格的集合Latt（X）
X上的项具有以下语法：
π：：=Ş|⊤|x|π∧，其中x∈x和π∈Latt（A）（同前）。
模态一步公式在A上的集合1ML（A）具有以下g马尔：
α∈A:：=Ş|⊤|⋄π|□π|α∧α|α⁄α（同前）。
模态P自动机A是三元组（A，θ，aI），其中A是非空有限一组状态，aI∈A，一个初始状态，和过渡映射θ：Ax℘P→1ML（A）将状态映射到模态一步公式，具有℘P命题字母，P（同前：7.3）。
最后，A=⟨A，α：A→E（A）⟩是代数范畴的对偶函子α（417-418）。
对于范畴C、对象a和内函子E，定义新箭头，α，s.t.α：EA→A.可以进一步定义同态f在代数⟨A，α⟩和\\10216\\B，β\\10217之间。
那么，对于代数的范畴可以定义以下交换平方：（i）EA→EB（Ef）；（ii）EA→A
（α）；（iii）EB→B（β）；和（iv）A→B（f）（参见Hughes，2001:7-8）。
还是一样余代数范畴的交换平方成立，使得后者通过反转（ii）[A中态射的方向来定义→EA（α）]和（iii）[B→EB（β）]（同前）。
因此，A是模态、确定性自动机、对偶的代数范畴到的完全布尔值代数模型Ω-定义的逻辑有效性。
在集合的范畴中
Leach-Krouse（ms）定义了Ω-结果令人满意
以下公理：
对于一个理论T和□ξ：=TBα⊩ZFC⇒TBα，
ZFC⇒ZFC⊢□⏴
ZFC⊢□（→ψ）→(□⏴→□ψ）
ZFC⊢□→ZFC
ZFC⊢□→□□⏴
ZFC⊢□(□⏴→ξ）→□⏴
□(□⏴→ψ）∧□(□ψ∧ψ→Γ），其中添加到GL的该条款是逻辑
在ZFC中“所有Vκ为真，所有κ强不可访问”。
3讨论
本节探讨了莫代尔-哥尔布雷克的哲学意义tomata和它们所对应的集合论语言的布尔值模型是双重的。
我认为，类似于二阶逻辑结果，（I）的“数学纠缠”Ω-逻辑有效性不会破坏其sta作为纯粹逻辑关系的tus；以及（ii）模态剖面和模型的理论表征Ω-逻辑后果为其情节提供了指导因此，我认为有几个考虑因素赞成集合概念的解释是构成性的涉及模态概念。
语气词范畴的作用istic自动机在（i）表征Ω-逻辑结果，以及（ii）构成了该概念的形式理解条件集合的概念，为累积的现实主义概念提供了支持等级制度。
3.1Ω-逻辑有效性是真正合乎逻辑的
Frege（1884/1980；1893/2013）的建议——基数可以是通过指定的同一性和等价性之间的双条件来说明概念上的关系，可以用二阶逻辑的特征来表达——是第一次尝试在逻辑的基础上为数学提供基础公理而非理性或经验直觉。
在弗雷格（1884/1980。引用：68）和Wright（1983:104-105），概念A的数量被认为是与概念的数量B相同，当且仅当存在一对一A和B之间的对应关系，即存在来自A的双射映射R对于Nx：一个数值项形成算子，•A→∃y（通过∧Rxy∧∀z（Bz∧Rxz→y=z）]∧∀y[By→∃x（Ax∧Rxy∧∀z（Az∧→x＝z））]]]。
Frege定理指出
算术可以从前面的抽象原理推导出来，作为扩充到二阶逻辑和恒等式的签名。
11因此，如果二阶逻辑可以算作纯逻辑，尽管二阶模型的域可以通过幂集运算来定义，那么哲学的一个方面抽象主义程序的意义在于它提供了一个基础，关于以非增广的纯逻辑为基础的经典数学抽象原理所表达的逻辑隐含定义。
ZFC中定义的逻辑可能至少有三个原因不破坏其后果关系的逻辑地位。
第一个数学纠缠的原因Ω-逻辑有效性可能是无伤大雅的是，正如夏皮罗（1991:5.1.4）所指出的，许多数学性质不能在一阶逻辑中定义，而是需要表达式二阶逻辑资源。
例如，良好基础的概念不能在一阶框架中表达，如对紧凑性。
设E为二元关系。
如果不存在无限序列，a0，ai，使得Ea0，Eai+1都是真的。
如果m是有充分基础的，那么就不存在无限个下降的E链。
认为T是包含m的一阶理论，对于所有自然数，n，存在具有n+1个元素a0…的T，an，使得a0，a1an，an−1⟩是E的扩张。
通过紧致性，存在一个无限序列，这样那a0。
ai，s.t.Ea0，Eai+1都是真的。
因此，m没有充分的依据。
然而，相比之下，良好的基础可以用二阶表达式来表示
框架：
X→∃x[Xx∧∀y（Xy→Eyx）]]，使得m是有充分根据的iff
每个非空子集X都有一个元素X，s.t。
X中没有任何元素与E到X有关。
有根据的哲学意义的一个方面是
当成员关系在给定的模型中使用。
这与Putnam（1980）的权利要求形成对比，一阶模型mod是可以预期的，如果mod中的每个实数集s都是这样的
mod中的ω-模型包含s并且是可构造的，使得-给定DownwardLowenheim-Skolem理论12——如果mod是不可构造的，但具有满足“s”的子模型是可构造的，则该模型是不成立的。
而且必须是有意的。
索赔取决于以下假设：
理解意图的条件和条件必须是共同广泛的，我将在第4.2节中返回
第二个原因Ω-逻辑的数学纠缠可能不是错误的，使得Ω-逻辑可能是真正合乎逻辑的，可以通过与二阶的比较再次得到赞赏。
思维方式Shapiro（1998）定义了逻辑的模型理论表征
结果如下：
（10）Φ是[模型]Γ的逻辑结果，如果Φ在所有可能性中都成立在Γ’（148）中的非逻辑术语的每一种解释下。
上述条件称为“同构性质”，
根据“如果两个模型M，M”相对于非逻辑的同构，则M满足Φ当且仅当M'满足Φ'（151）。
夏皮罗认为，结果关系指定使用第二秩序资源是合乎逻辑的，因为它具有模态和认知特征。
这个二阶有效性的认知可处理性在于“典型健全性”orems，其中表明给定的演绎系统是保真的’（154）。
他写道：“如果我们知道一个模型是一个很好的数学模型逻辑结果（10），那么我们就知道使用声音不会出错
演绎系统。
此外，我们可以知道，争论是一个合乎逻辑的结果…通过元理论中的集合论证明”（154-155）。
二阶有效性的模态轮廓提供了第二种交流方式计算财产在认识上的易处理性。
例如，夏皮罗认为：“如果同构性质成立，则在评价句子和论点时，我们唯一需要“改变”的“可能性”就是宇宙的大小。
如果尺寸足够在模型的宇宙中表示，那么逻辑con的模态性质序列将被注册。
[T]我们唯一保留的“模态”是“可能的大小”，
其被归入集合论元理论’（152）。
夏皮罗关于支持逻辑的考虑因素的评论非有效二阶有效性的cality推广到Ω-逻辑有效性。
在里面上一节Ω-逻辑有效性由代数模态逻辑范畴A与完备范畴的对偶性的布尔值代数模型Ω-思维方式正如夏皮罗对原木的定义ical结果，其中Φ在模型宇宙中的所有可能性中成立。
可能性涉及集合论元理论中的“可能大小”，这个Ω-猜想指出V|=ΩξiffVB|=Ωξ，使得Ω-逻辑有效性在集合论中地面模型的所有集强迫扩展中是不变的宇宙。
最后Ω-逻辑有效性是安全的，两者都一样夏皮罗对二阶逻辑后果的描述——通过其合理性，但也由于它是确定性自动机的coargebraic范畴的对偶，其中Woodin的存在再次保证了其确定性大基数。
3.2意图与集合的概念
最后，在本节中，我认为Ω-可以利用逻辑以说明集合概念的理解条件。
Putnam（同前：473-474）认为，定义一阶理论的模型足以理解和说明预期的解释后者。
相比之下，Wright（1985:124-125）认为数学概念的条件不能被其理论，甚至基于对这些理论的预期解释。
他例如，建议：
“如果真的有不可计数的集合，那么它们的存在肯定是必须的流从集合的概念，直观地令人满意地解释。
这里，那里在我看来，没有任何假设ZF公理的内容不能超过在所有经典模型下不变的。[Banacerraf]写道，
例如：“他们有自己的‘预期解释’：‘∈’是指集合成员身份。即便如此，并被认为是对直觉的编码在集合的概念中，它们不包含不可数集合的存在性。
那么怎么能确实存在这样的集合？Benacerraf的回答是ZF公理是除了确保
“∈”表示集合成员关系，我们对它们进行解释以观察约束“通用量词必须表示所有或至少所有集合”（第103页）。
当然，如果集合的概念确实决定了背景，坎托定理在其预期的解释下是健全的，集合的概念可以用“∈”的意图意义和ZF公理成立的规定。
残留物大概包含在非正式的解释中，贝纳瑟拉夫提醒我们，泽梅洛有意用他的形式化回答。
至少'假设对角化引理成立，使得F⊢Q⇐⇒A（Q）。
对于第一个不完全性定理，应用对角化引理对可证明性谓词-ProvF（x）的否定，产生如下低沉的句子：
'（Z）F⊢MF⇐⇒ProvF（MF）。
“假设MF是可证明的。
通过可证明性的弱可表示性在ProvF（x）的in-F中，F也将证明ProvF（MF）。
因为F证明了Z——即。
F⊢MF⇐⇒ProvF（MF）–F将证明-MF。
所以F是不一致的因此，如果F是一致的，那么MF在F中是不可证明的。
'假设F是ω-一致的。
那么，假设F⊢-MF。然后F不能证明MF，因为它将是ω-不一致的。
因此数n是MF的一个证明的哥德尔数。
因为证明关系是强可表示的，对于所有n，F⊢-PrfF（n，MF）。
如果F⊢xPerfF（x，MF），F是不ω-一致的。
因此，F不证明∃xPerfF（x，MF），即F不能证明ProvF（MF）。
根据（Z）中记录的等价性，F不能证明-MF。
对于第二个不完全性定理：假设一致性Con（F），定义为？ProvF（Ş），其中Ş表示一个不一致的公式，如0=1。
形式化F中第一不完全性定理的证明得到F⊢缺点（F）→MF。
如果Cons（F）在F中是可证明的，那么MF也是。假设F⊢MF⇐⇒缺点（F）。
因此，考虑到第一个不完全性，Cons（F）是不可证明的定理。
在上文中，编码的选择桥接了语言中的数字具有目标数字的属性。
因此，编码的选择内涵，并已被整理，以论证这一概念。
句法可计算性&通过部分递归函数的等价类离散状态自动机的项、λ可定义项和转移函数，如图灵机——是组成语义的（参见Rescorla，2015）。
毛皮在自我现象中可以看到内涵的其他点Reinhardt（1986）介绍了算术中的参考文献。
莱因哈特（op。引用：470-472）认为可证明性谓词可以相对于特定特工的头脑——类似于奎因（1968）和刘易斯（1979）建议通过相对于pa定义可能的世界来集中它们范围在时空坐标元组或代理和位置上的参数——并且可以为上述思想和可计算系统的概念。
第二点，在这一点上，可以证明理解条件是一致的认识权的条件可以见证制度模态假设哥德尔的第二不完全性orem被证明是一致的（参见Dummett，1963/1978；Wright，1985）。
Wright（同前：91，fn。9）建议“将证明视为建立一致性”是含蓄地排除任何疑问。关于一阶num的一致性ber理论。
赖特对认识权利概念的阐述。
他认为，理性“信任”的概念是通过计算决策理论背景下的“预期认知效用”（2004；2014:226，241）。
Wright指出，服从于认知权利的理性信任将要务实，并提出一个有趣的观点，即“务实的原因不是一种特殊的理性类型，与例如认知的、谨慎的和道德原因”（2012:484）。
然而，至关重要的是，预期事件的想法决策理论背景下的temic效用对概念产生了隐含的吸引力。
在可能的世界中，后者可以再次由代数决定模态自动机的逻辑。
第三个考虑援引有利于把握事实的思想集合的概念可能构成性地具有模态轮廓，即概念可以是定义为一种内涵，即从可能的世界到延伸的功能。
这个然后可以将coargebraic模态逻辑中的模态相似类型解释为动态解释模态，其中有人认为，运营商可能会对该理论的量词的领域（参见Fine，20052006），以及诸如隶属关系之类的非逻辑概念的张力（参见Uzquiano，2015）。
16第四个考虑直接利用了Ω-必然的结果虽然上述动态解释模式就足够了对于数学术语的可能的重新解释后果关系是这样的，如果Ω-那么猜想是真的Ω-必然的。
有效性在地面模型的所有可能集强制扩展中都是不变的集合论宇宙。
真相Ω-由此推测正式理解内涵的不可撤销的必要条件集合的概念。
4结束语
在这篇文章中，我考察了二元性的哲学意义自动机与布尔值代数模的模态间余代数模型模态的elsΩ-思维方式我认为——就像第二种有效性的性质一样订单逻辑-Ω-逻辑有效性是真正合乎逻辑的。
然后，我争辩说煤代数确定性自动机，其特征是Ω-逻辑结果，是数学解释的组成部分成员关系等概念。
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